Volume Máximo de uma Caixa

[15101097]

Um tanque de armazenamento ou de armazenagem, o qual também é designado por reservatório, é um recipiente destinado a armazenar fluidos à pressão atmosférica ou pressões superiores a ela. Na indústria de processo, a maior parte dos tanques de armazenamento são construídos para armazenar líquidos.
Assim sendo, sabe-se que uma indústria possui tanques de armazenamento de fluidos (efluentes líquidos) e um deles precisa, com urgência, de um revestimento antioxidante, que é realizado com tintas especiais, para evitar o desgaste e a corrosão. O responsável da empresa prestadora do serviço informou que o trabalho custaria R$ 50,00/m². Considerando o tanque como uma “caixa” de base quadrada, calcule o volume máximo do tanque em questão se o processo de seu revestimento custou R$ 4.800,00.


Utilize os multiplicadores de Lagrange para esse problema de maximização.

Por favor Urgente

[PierreQuadrado]

Se designar pos x e y a medida da base (quadrada) e a altura, respetivamente, então o volume é dado por

\(v(x,y) = x^2 y\)

Por outro lado lado, como a superfície é dada por \(2x^2 + 4 xy\) e sabemos que ela é \(\frac{4800}{50} = 96 m^2\), sabemos que

\(2x^2+ 4xy = 96 \Leftrightarrow x^2 + 2xy - 48 = {0}\)

Quer portanto maximizar a função \(v(x,y) = x^2 y\), sujeita à restrição \(x^2 + 2xy - 48 = {0}\). Nas condições apropriadas (verifique-as!) o maximizante será ponto crítico da função lagrangiana

\(L(x,y,\lambda) = x^2y + \lambda(x^2+2xy-48)\)

Fazendo isso irá verificar que x = y = 4.