método de Newton-Raphson Calculo Numerico

[jeffyss]

Utilizando o método de Newton-Raphson, precisão menor ou igual a 0,01 e três casas decimais qual é a raiz da função h(x) = x3-4x2+2 no intervalo [3;4], utilizando como aproxima[/b]ção inicial x0 = 4:

[Sobolev]

Usando a estimativa de erro para o método de Newton sabemos que neste intervalo se tem

\(|z-x_n| \leq \frac 1K (K(1-0))^{2^n} = K^{2^n-1},\)

Em que \(K = \dfrac{\max |f''|}{2 min |f'|} \approx \frac{16}{2\cdot 3 } = \frac 89\). Assim, usando esta estimativa "a priori", sabemos que para atingir a precisão especificada basta realizar 6 iterações. (se usar estimativas "a posteriori" poderá realizar um menor número de iterações).

\(\begin{align*}x_0=&4\\ x_1 = &x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = \frac{31}{8}\\ x_2 =& x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = \frac{31}{8} = \frac{13903}{3596}\\ x_3 = &x_3-\frac{f(x_3)}{f'(x_3)} = \frac{1250691415063}{323493863954} \approx 3.8662 \\ \vdots & \end{align*}\)