Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Me ajudem, por favor

Se f. R -> R dada por f(x) = mx+n, com m=0, é tal que f(f(x)) é igual a 2f(x) para todo x real, então m+n é? (Lembrando esse sinal de m=0 é cortado)

ME AJUDEM, TENHO QUE TER A EXPLICAÇÃO E RESULTADO ATÉ AMANHÃ

Ignorando a condição m=0, que deve ser provavelmente \(m \ne 0\), pode ver que

\(f(f(x))=2f(x) \Leftrightarrow m(mx+n)+n = 2mx + 2n \Leftrightarrow m^2 x + (mn + n) = 2mx +2n\)

Ora, para que a última igualdade seja verificada para todo o x, os coeficientes dos termos da mesma ordem devem ser iguais, isto é

\(m^2 = 2m, \qquad mn+n=2n\)

ou seja,

\(m(m-2)=0, \qquad n(m-1) = 0\)

Assim, se a condição for realmente m=0, vê que n=0 e portanto n+m = 0. Se por outro lado \(m \ne 0\) deveremos ter m=2 e n=0, pelo que m+n = 2.