| Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! https://forumdematematica.org/ |
|
| Teoria dos números. Livro 21 Aulas de Matemática Olímpica. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=31&t=12297 |
Página 1 de 1 |
| Autor: | andremazzari [ 01 fev 2017, 03:07 ] |
| Título da Pergunta: | Teoria dos números. Livro 21 Aulas de Matemática Olímpica. |
Exercício 15.9 do livro 21 Aulas de Matemática Olímpica: Os três últimos dígitos de 1978m são iguais aos três últimos dígitos de 1978n (1 ≤ m < n , m e n pertecem aos Naturais). Determine m e n tais que m+n seja mínimo. ( Cuidado! A resposta não 1+ϕ(1000) ). *Esse exercício esta na seção em que é apresentado o Teorema de Euler-Fermat e o Pequeno Teorema de Fermat, então acredito que seja necessário usa-los na resolução. *Sou novo no forum e não encontrei uma seção para teoria dos números. Não existe nenhuma ? |
|
| Autor: | pedrodaniel10 [ 01 fev 2017, 07:31 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Teoria dos números. Livro 21 Aulas de Matemática Olímpica. |
É curioso que quando li este problema, lembrei-me que já o tinha resolvido algures. Fui vaguear pelos meus cadernos das aulas de Matemática Discreta e encontrei a solução. Vou então copiar a solução que o meu professor me deu. O que queremos encontrar é que o número \(1978^n-1978^m=1978^m(1978^{n-m}-1)\) seja múltiplo de 1000. Isto é, o resto da divisão por 1000 é 0. Ora \(1000=8\times 125\) Assim 8 divide \(1978^m\) e como \(1978\equiv2\: (mod \: 8)\), concluímos que \(m\geq 3\) E 125 divide \(1978^{n-m}-1\) Pelo Teorema de Euler-Fermat \(1978^{\Phi (125)}\equiv1\: (mod \: 125)\) \(\Phi (125)=125-25=100\) E assim temos que: \(1978^{100}\equiv1\: (mod \: 125)\) E portanto o valor mínimo de r tal que \(1978^{r}\equiv1\: (mod \: 125)\) tem que ser um divisor de 100. O que fica 9 possibilidades 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100. Ao testar as possibilidades reparamos que o menor valor de s tal que \(1978^{s}\equiv1\: (mod \: 5)\) é 4 e portanto r tem de ser um múltiplo de 4. O que resta 4,20 e 100 para verificar. \(1978^{1}\equiv103\: (mod \: 125) 1978^{2}\equiv103^2\equiv109\:(mod \: 125) 1978^{4}\equiv109^2\equiv6\:(mod \: 125) 1978^{20}\equiv6^5\equiv26\:(mod \: 125)\) Como para 4 e 20 o resto é diferente de 1. Então o r mais pequeno é 100. Como o m mais pequeno possível é 3. Já que 8 divide \(1978^3\). Então temos que: \(n-m=100\Rightarrow n=100+3=103\) E temos a solução m=3 e n=103 |
|
| Autor: | andremazzari [ 01 fev 2017, 15:08 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Teoria dos números. Livro 21 Aulas de Matemática Olímpica. |
Obrigado, ajudou bastante!!! |
|
| Página 1 de 1 | Os Horários são TMG [ DST ] |
| Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group https://www.phpbb.com/ |
|