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01 fev 2017, 03:07
Exercício 15.9 do livro 21 Aulas de Matemática Olímpica:
Os três últimos dígitos de 1978m são iguais aos três últimos dígitos de 1978n (1 ≤ m < n , m e n pertecem aos Naturais). Determine m e n tais que m+n seja mínimo. ( Cuidado! A resposta não 1+ϕ(1000) ).
*Esse exercício esta na seção em que é apresentado o Teorema de Euler-Fermat e o Pequeno Teorema de Fermat, então acredito que seja necessário usa-los na resolução.
*Sou novo no forum e não encontrei uma seção para teoria dos números. Não existe nenhuma ?
01 fev 2017, 07:31
É curioso que quando li este problema, lembrei-me que já o tinha resolvido algures. Fui vaguear pelos meus cadernos das aulas de Matemática Discreta e encontrei a solução. Vou então copiar a solução que o meu professor me deu.
O que queremos encontrar é que o número \(1978^n-1978^m=1978^m(1978^{n-m}-1)\) seja múltiplo de 1000. Isto é, o resto da divisão por 1000 é 0.
Ora \(1000=8\times 125\)
Assim 8 divide \(1978^m\) e como \(1978\equiv2\: (mod \: 8)\), concluímos que \(m\geq 3\)
E 125 divide \(1978^{n-m}-1\)
Pelo Teorema de Euler-Fermat \(1978^{\Phi (125)}\equiv1\: (mod \: 125)\)
\(\Phi (125)=125-25=100\)
E assim temos que: \(1978^{100}\equiv1\: (mod \: 125)\)
E portanto o valor mínimo de r tal que \(1978^{r}\equiv1\: (mod \: 125)\) tem que ser um divisor de 100. O que fica 9 possibilidades 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.
Ao testar as possibilidades reparamos que o menor valor de s tal que \(1978^{s}\equiv1\: (mod \: 5)\) é 4 e portanto r tem de ser um múltiplo de 4. O que resta 4,20 e 100 para verificar.
\(1978^{1}\equiv103\: (mod \: 125)
1978^{2}\equiv103^2\equiv109\:(mod \: 125)
1978^{4}\equiv109^2\equiv6\:(mod \: 125)
1978^{20}\equiv6^5\equiv26\:(mod \: 125)\)
Como para 4 e 20 o resto é diferente de 1. Então o r mais pequeno é 100.
Como o m mais pequeno possível é 3. Já que 8 divide \(1978^3\). Então temos que:
\(n-m=100\Rightarrow n=100+3=103\)
E temos a solução m=3 e n=103
01 fev 2017, 15:08
Obrigado, ajudou bastante!!!
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