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MensagemEnviado: 08 fev 2017, 04:32 
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Exercício 15.12 do livro 21 Aulas de Matemática Olímpica:
Encontre todos os inteiros m, n e p, onde p é um primo ímpar, tais que pm-np=1
Dica:tente encontrar uma fatoração e calcule o mdc dos dois fatores da fatoração.Depois use o binômio de Newton para concluir o problema.

*Esse exercicio está em uma seção em que o autor o Teorema de Euler-Fermat e o Pequeno teorema de Fermat, e logo antes o autor dá algum exemplos de usar esses teoremas junto com o binômio de Newton e o teorema do menor expoente. Tentei seguir a dica, até encontrei algumas fatorações, mas não consegui encontrar nenhuma utilidade para o binômio de Newton nem para o mdc dos dois fatores.


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MensagemEnviado: 09 fev 2017, 15:40 
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Vou dar uma resolução em passos largos para não ser muito extensa. Se tiver alguma dificuldade nalgum passo diga.

Como não é dito nada em contrário no enunciado vou assumir que m, n e p também podem ser inteiros não-positivos (caso contrário passe logo ao passo 6):

passo1: Se n=0 então m=0 e p pode ser qualquer primo.

passo2: Se n<0 e p>0 então não há soluções pois \(p^m-n^p=p^m+|n|^p\), \(p^m>0\) e \(|n|^p\ge 1\).

passo3: Se n=-1 então \(p^m-n^p=1 \Rightarrow p=0\) (não há solução).

passo4: Se n<-1 , p<0 e \(m\ge 0\) então não há soluções pois \(p^m\in\mathbb{Z}\) e \(n^p\not\in\mathbb{Z}\).

passo5: Se n<-1, p<0 e m<0 então também não solução pois \(|p^m|\le 1/3\) e \(|n^p|\le 1/8\).

Agora assumimos m n e p positivos

passo6: \(p^m=n^p+1=(n+1)\left(n^{p-1}-n^{p-2}+n^{p-3}-\cdots +n^2-n+1\right)\) (pois p é ímpar). Logo \(n+1=p^a\) e \(n^{p-1}-n^{p-2}+n^{p-3}-\cdots +n^2-n+1=p^b\) com a, b inteiros não-negativos tais que a+b=m.

passo7: \(n^{p-1}-n^{p-2}+n^{p-3}-\cdots +n^2-n+1\ge n+1\) para p>2 e n>1. Logo \(b\ge a>0\). (note que é fácil ver que n tem de ser maior que 1 e p é pelo menos 3).

passo8: \(mdc(n+1,n^{p-1}-n^{p-2}+n^{p-3}-\cdots +n^2-n+1)=mdc(p^a,p^b)=p^a=n+1\)

passo9: \(mdc(n+1,n^{p-1}-n^{p-2}+n^{p-3}-\cdots +n^2-n+1)=mdc(n+1,p)\) (aplique o algoritmo de Euclides). Logo n+1=p.

Ficamos então com a equação \((n+1)^m-n^{n+1}=1\)

passo10: m é múltiplo de n. É usar o binómio de Newton na equação anterior.

passo11: m=n pois se \(m\ge 2n\) então \((n+1)^m>n^{n+1}+1\).

Ficamos então com a equação \((n+1)^n=n^{n+1}+1\)

passo12: Se n>2 então \((n+1)^n<n^{n+1}+1\) , é usar binómio de Newton e o facto de \({n\choose i}n^{n-i}<n^n\) para \(i>1\).

passo13: n=2 é solução.

Conclusão: Só temos uma solução com m,n,p positivos: p=3 e n=m=2.


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MensagemEnviado: 10 fev 2017, 03:49 
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Obrigado pela resposta, mas teve alguns passos que não consegui entender.
No passo 7, nao consegui chegar que \(n^{p-1}-n^{p-2}+n^{p-3}-\cdots%20+n^2-n+1\ge%20n+1\). Tentei mostrar isso por indução mas não consegui.
No passo 10, nao consegui concluir que m deve ser múltiplo de n.
Também nao consegui entender como se chegou nas conclusões dos passos 11 e 12.
Se voce puder detalhar e desenvolver mais esses passos eu agradeceria muito.
Obrigado mais uma vez.


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MensagemEnviado: 10 fev 2017, 21:55 
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andremazzari Escreveu:
Obrigado pela resposta, mas teve alguns passos que não consegui entender.
No passo 7, nao consegui chegar que \(n^{p-1}-n^{p-2}+n^{p-3}-\cdots%20+n^2-n+1\ge%20n+1\). Tentei mostrar isso por indução mas não consegui.

E se for assim já consegue: \((n^{p-1}-n^{p-2})+(n^{p-3}-n^{p-4})+\cdots +n^2-n+1\ge n^2-n+1 = (n-1)n+1 \ge n+1\) (lembre-se que \(p\ge 3\) e \(n\ge 2\)).

Citar:
No passo 10, nao consegui concluir que m deve ser múltiplo de n.

\((n+1)^m-n^{n+1}=1 \Leftrightarrow \sum_{i=0}^m{m\choose i}n^{i} =n^{n+1}+1 \Leftrightarrow 1+mn+\sum_{i=2}^{m}{m\choose i}n^{i} =n^{n+1}+1 \Leftrightarrow m=n^{n}-\left(\sum_{i=2}^{m}{m\choose i}n^{i-1}\right) =n\left[n^{n-1}-\left(\sum_{i=2}^{m}{m\choose i}n^{i-2}\right)\right]\).

Citar:
Também nao consegui entender como se chegou nas conclusões dos passos 11 e 12.

passo11: \(m\ge 2n \Rightarrow (n+1)^m\ge (n+1)^{2n}\ge n^{2n}+1> n^{n+1}+1\), note que \(n>1 \Rightarrow 2n>n+1\). Logo se m é múltiplo de n (passo10) então m=n.

Passo12: Considerando n>2, \((n+1)^n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}n^{n-i}=n^n+nn^{n-1}+\left(\sum_{i=2}^{n-1}{n\choose i}n^{n-i}\right)+1 < 2n^n+\left(\sum_{i=2}^{n-1}n^n\right)+1 = 2n^n+(n-2)n^n +1=n^{n+1}+1\). Note que, para i>1, \({n\choose i}=\frac{n(n-1)\cdots (n-i+1)}{i!}<n^i\) logo \({n\choose i}n^{n-i}<n^n\).

Citar:
Se voce puder detalhar e desenvolver mais esses passos eu agradeceria muito.
Obrigado mais uma vez.

De nada.


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MensagemEnviado: 11 fev 2017, 03:45 
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Agora entendi tudo.
Obrigado!!!


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