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Teoria dos Números. Outra do livro 21 Aulas de Matemática Olímpica.
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Autor:  andremazzari [ 08 fev 2017, 04:32 ]
Título da Pergunta:  Teoria dos Números. Outra do livro 21 Aulas de Matemática Olímpica.
Exercício 15.12 do livro 21 Aulas de Matemática Olímpica:
Encontre todos os inteiros m, n e p, onde p é um primo ímpar, tais que pm-np=1
Dica:tente encontrar uma fatoração e calcule o mdc dos dois fatores da fatoração.Depois use o binômio de Newton para concluir o problema.

*Esse exercicio está em uma seção em que o autor o Teorema de Euler-Fermat e o Pequeno teorema de Fermat, e logo antes o autor dá algum exemplos de usar esses teoremas junto com o binômio de Newton e o teorema do menor expoente. Tentei seguir a dica, até encontrei algumas fatorações, mas não consegui encontrar nenhuma utilidade para o binômio de Newton nem para o mdc dos dois fatores.
Autor:  Rui Carpentier [ 09 fev 2017, 15:40 ]
Título da Pergunta:  Re: Teoria dos Números. Outra do livro 21 Aulas de Matemática Olímpica.
Vou dar uma resolução em passos largos para não ser muito extensa. Se tiver alguma dificuldade nalgum passo diga.

Como não é dito nada em contrário no enunciado vou assumir que m, n e p também podem ser inteiros não-positivos (caso contrário passe logo ao passo 6):

passo1: Se n=0 então m=0 e p pode ser qualquer primo.

passo2: Se n<0 e p>0 então não há soluções pois \(p^m-n^p=p^m+|n|^p\), \(p^m>0\) e \(|n|^p\ge 1\).

passo3: Se n=-1 então \(p^m-n^p=1 \Rightarrow p=0\) (não há solução).

passo4: Se n<-1 , p<0 e \(m\ge 0\) então não há soluções pois \(p^m\in\mathbb{Z}\) e \(n^p\not\in\mathbb{Z}\).

passo5: Se n<-1, p<0 e m<0 então também não solução pois \(|p^m|\le 1/3\) e \(|n^p|\le 1/8\).

Agora assumimos m n e p positivos

passo6: \(p^m=n^p+1=(n+1)\left(n^{p-1}-n^{p-2}+n^{p-3}-\cdots +n^2-n+1\right)\) (pois p é ímpar). Logo \(n+1=p^a\) e \(n^{p-1}-n^{p-2}+n^{p-3}-\cdots +n^2-n+1=p^b\) com a, b inteiros não-negativos tais que a+b=m.

passo7: \(n^{p-1}-n^{p-2}+n^{p-3}-\cdots +n^2-n+1\ge n+1\) para p>2 e n>1. Logo \(b\ge a>0\). (note que é fácil ver que n tem de ser maior que 1 e p é pelo menos 3).

passo8: \(mdc(n+1,n^{p-1}-n^{p-2}+n^{p-3}-\cdots +n^2-n+1)=mdc(p^a,p^b)=p^a=n+1\)

passo9: \(mdc(n+1,n^{p-1}-n^{p-2}+n^{p-3}-\cdots +n^2-n+1)=mdc(n+1,p)\) (aplique o algoritmo de Euclides). Logo n+1=p.

Ficamos então com a equação \((n+1)^m-n^{n+1}=1\)

passo10: m é múltiplo de n. É usar o binómio de Newton na equação anterior.

passo11: m=n pois se \(m\ge 2n\) então \((n+1)^m>n^{n+1}+1\).

Ficamos então com a equação \((n+1)^n=n^{n+1}+1\)

passo12: Se n>2 então \((n+1)^n<n^{n+1}+1\) , é usar binómio de Newton e o facto de \({n\choose i}n^{n-i}<n^n\) para \(i>1\).

passo13: n=2 é solução.

Conclusão: Só temos uma solução com m,n,p positivos: p=3 e n=m=2.
Autor:  andremazzari [ 10 fev 2017, 03:49 ]
Título da Pergunta:  Re: Teoria dos Números. Outra do livro 21 Aulas de Matemática Olímpica.
Obrigado pela resposta, mas teve alguns passos que não consegui entender.
No passo 7, nao consegui chegar que \(n^{p-1}-n^{p-2}+n^{p-3}-\cdots%20+n^2-n+1\ge%20n+1\). Tentei mostrar isso por indução mas não consegui.
No passo 10, nao consegui concluir que m deve ser múltiplo de n.
Também nao consegui entender como se chegou nas conclusões dos passos 11 e 12.
Se voce puder detalhar e desenvolver mais esses passos eu agradeceria muito.
Obrigado mais uma vez.
Autor:  Rui Carpentier [ 10 fev 2017, 21:55 ]
Título da Pergunta:  Re: Teoria dos Números. Outra do livro 21 Aulas de Matemática Olímpica.
andremazzari Escreveu:
Obrigado pela resposta, mas teve alguns passos que não consegui entender.
No passo 7, nao consegui chegar que \(n^{p-1}-n^{p-2}+n^{p-3}-\cdots%20+n^2-n+1\ge%20n+1\). Tentei mostrar isso por indução mas não consegui.

E se for assim já consegue: \((n^{p-1}-n^{p-2})+(n^{p-3}-n^{p-4})+\cdots +n^2-n+1\ge n^2-n+1 = (n-1)n+1 \ge n+1\) (lembre-se que \(p\ge 3\) e \(n\ge 2\)).

Citar:
No passo 10, nao consegui concluir que m deve ser múltiplo de n.

\((n+1)^m-n^{n+1}=1 \Leftrightarrow \sum_{i=0}^m{m\choose i}n^{i} =n^{n+1}+1 \Leftrightarrow 1+mn+\sum_{i=2}^{m}{m\choose i}n^{i} =n^{n+1}+1 \Leftrightarrow m=n^{n}-\left(\sum_{i=2}^{m}{m\choose i}n^{i-1}\right) =n\left[n^{n-1}-\left(\sum_{i=2}^{m}{m\choose i}n^{i-2}\right)\right]\).

Citar:
Também nao consegui entender como se chegou nas conclusões dos passos 11 e 12.

passo11: \(m\ge 2n \Rightarrow (n+1)^m\ge (n+1)^{2n}\ge n^{2n}+1> n^{n+1}+1\), note que \(n>1 \Rightarrow 2n>n+1\). Logo se m é múltiplo de n (passo10) então m=n.

Passo12: Considerando n>2, \((n+1)^n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}n^{n-i}=n^n+nn^{n-1}+\left(\sum_{i=2}^{n-1}{n\choose i}n^{n-i}\right)+1 < 2n^n+\left(\sum_{i=2}^{n-1}n^n\right)+1 = 2n^n+(n-2)n^n +1=n^{n+1}+1\). Note que, para i>1, \({n\choose i}=\frac{n(n-1)\cdots (n-i+1)}{i!}<n^i\) logo \({n\choose i}n^{n-i}<n^n\).

Citar:
Se voce puder detalhar e desenvolver mais esses passos eu agradeceria muito.
Obrigado mais uma vez.

De nada.
Autor:  andremazzari [ 11 fev 2017, 03:45 ]
Título da Pergunta:  Re: Teoria dos Números. Outra do livro 21 Aulas de Matemática Olímpica.
Agora entendi tudo.
Obrigado!!!
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