Juros compostos com percentual antecipado

[luanapmv]

Uma instituição bancária concede um financiamento que deve ser liquidado no final do 5 mês, após a liberação dos recursos. A taxa de juros compostos cobrada por esse banco é de 2% ao mês, no regime de juros compostos. Por razões operacionais a cobrança dessa taxa é desdobrada em duas parcelas:
a)uma taxa mensal de 1% ao mês cobrada de forma postecipada, ao longo do contrato de financiamento.
b)uma parcela antecipada cobrada no ato da liberação dos recursos.
Que percentual deve ser cobrado antecipadamente por esse banco, para que a taxa de 2% ao mês seja alcançada?
(A) 4,81
(B) 5,34
(C) 5,97
(D) 6,62
(E) 7,23

Alguém pode me ajudar? Desde já, agradeço.

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Vamos imaginar um empréstimo de valor X. Este valor será pago daqui 5 meses sob uma taxa de 2%a.m. No outro caso iremos emprestar um valor maior do que X, digamos Y. Deste valor será descontada uma parcela antecipada e será liberado, no final, o mesmo valor X. Neste último caso o banco 'cobrará' 1%a.m. com relação ao valor emprestado, não ao valor liberado. Então, montando duas equações resolvemos o problema.
\(X(1+2%)^5=F
Y(1+1%)^5=F\)

Dividindo a primeira equação pela segunda:
\(\frac{X(1+2%)^5}{Y(1+1%)^5}=1
X\frac{1,02^5}{1,02^5}=Y
X\left(\frac{1,02}{1,01}\right)^5=Y
X=Y\left(\frac{1,01}{1,02}\right)^5
X=0,951932Y\)

Então, o valor a ser descontado de Y é de: 1-0,951932=4,8068% ou 4,81%, aproximadamente.

Espero ter ajudado!