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Um banco de investimento realiza suas operações financeiras a juros compostos, com uma taxa efetiva de juros de 3% ao mês. Os financiamentos são realizados com um prazo de um semestre e podem ser liquidados pelos seguintes planos de pagamento:
I - em três prestações bimestrais, iguais e sucessivas, ocorrendo a primeira prestação sessenta dias após a liberação dos recursos;
II - em duas prestações trimestrais, iguais e sucessivas, ocorrendo a primeira prestação noventa dias após a liberação dos recursos.
Sabendo-se que os dois planos são equivalentes à taxa de 3% ao mês, calcule o valor aproximado do quociente da divisão do valor da prestação do plano A pelo valor da prestação do plano B e assinale a opção correta.
(A) 0,500 (B) 0,657 (C) 0,739 (D) 0,835 (E) 0,984
Alguém pode me ajudar por favor? Desde já, agradeço.

Boa noite!

Este exercício quer calcular o valor da prestação bimestral e da prestação trimestral e encontrar um coeficiente que foi definido como a divisão entre estas duas prestações (a bimestral dividida pela trimestral, ou seja, a menor pela maior, já que temos 3 prestações bimestrais e somente 2 trimestrais, equivalentes financeiramente entre si).

Bimestralidade:
\(i_b{=}(1+3\%)^2-1{=}1,03^2-1{=}1,0609-1{=}0,0609{=}6,09\%\text{ a.b.}\)

Temos que calcular o fator pelo qual dividimos o valor à vista e encontramos a prestação:
\(PV=PMT\frac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\\
PV=PMT\frac{1-\left(1+6,09\%\right)^{-3}}{6,09\%}\\
PV=PMT\frac{1-1,0609^{-3}}{0,0609}\\
PMT_b=\frac{0,0609PV}{1-1,0609^{-3}}\)

Trimestralidade:
\(i_t{=}(1+3\%)^3-1{=}1,03^3-1{=}1,092727-1{=}0,092727{=}9,2727\%\text{ a.b.}\)

Temos que calcular o fator pelo qual dividimos o valor à vista e encontramos a prestação:
\(PV=PMT\frac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\\
PV=PMT\frac{1-\left(1+9,2727\%\right)^{-2}}{9,2727\%}\\
PV=PMT\frac{1-1,092727^{-2}}{0,092727}\\
PMT_t=\frac{0,092727PV}{1-1,092727^{-2}}\)

Agora é só dividir a primeira pela segunda. O interessante é que \(1,092727^{-2}=1,0609^{-3}\), pois:\(1,092727=1,03^3\) e \(1,0609=1,03^2\), portanto:
\(1,092727^{-2}=1,0609^{-3}
(1,03^3)^{-2}=(1,03^2)^{-3}
1,03^{-6}=1,03^{-6}\)

Então:
\(\frac{PMT_b}{PMT_t}=\frac{\frac{0,0609PV}{1-1,0609^{-3}}}{\frac{0,092727PV}{1-1,092727^{-2}}}
\frac{PMT_b}{PMT_t}=\frac{0,0609PV}{0,092727PV}=\frac{0,0609}{0,092727}\approx 0,656767\)

Espero ter ajudado!:)

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles