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\(\int \frac{dx}{(5-4x-x^2)^{3/2}} = \int \frac{dx}{(9-(x+2)^2)^{3/2}}= \frac{1}{27} \int \frac{dx}{\left(1-\left(\frac{x+2}{3}\right)^2\right)^{3/2}}\)
Se considerar a mudança de variável \(\frac{x+2}{3} = \sin t\) ficamos com
\(\frac{1}{27} \int 3 \cos t \cdot \frac{1}{\cos^3 t} \, dt=\frac 19 \int \frac{1}{\cos^2 t}\, dt = \frac 19 \tan\, t + C\)
Se quiser a primitiva em termos se x, apenas precisa de desfazer a mudança de variável, resultando em
\(\frac{1}{9} \tan \left(\arcsin \left(\frac{x+2}{3}\right)\right)+C = ... = \frac{x+2}{9 \sqrt{-x^2-4 x+5}} +C\)
Para a segunda primitiva é melhor colocar outro post... politica do fórum!
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