Primitiva do produto de uma integrada

[tiberiotavares]

1) Prove que: seja f uma função continua no intervalo I. Se f ' (x) = 0 em todos x interior a I,entáo existira uma constante K tal que f (x) = K para todo x em I

[Sobolev]

Pode provar por redução ao absurdo. Se existissem dois pontos \(x_1, x_2\) no interior do intervalo para os quais se tivesse \(f(x_1)\ne f(x_2)\) então, pelo teorema de Lagrange existiria \(\xi \in ]x_1,x_2[\) tal que \(f'(\xi)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\ne 0\) (porque \(f(x_2)\ne f(x_1)\). O que é um absurdo já que por hipótese a derivada é nula em todos os pontos do interior do intervalo.