calculo área integral com tangente

[miguel.silva]

Determina a área da região limitada por\(y=\sqrt{x}\), pela tangente a esta curva em \(x=4\)
e pelo eixo das ordenadas.
Estou com dúvida relativamente à da tangente à curva. Como fica o gráfico da área e o respetivo integral?

Obrigado!

[Fraol]

Boa noite,

Vamos por partes:

(1) Em \(x=4, f(x) = \sqrt{x} = 2\) então \((4,2)\) pertence à reta.

(2) A derivada de \(f(x)\) é \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). Então o coeficiente angular da reta é \(\frac{1}{4}\).

(3) Com (1) e (2) você consegue a expressão da função cujo gráfico é a reta: \(r(x) = \frac{1}{4}x + 1\)

(4) A reta passa por cima da curva \(f(x)\) até \(x=4\). Assim os extremos de integração são \(0\) e \(4\).

(5) Por fim a integral será dada pela expressão \(\int_{0}^{4} r(x) - f(x) dx = \int_{0}^{4} r(x) dx - \int_{0}^{4} f(x) dx\)

Para concluir, basta substituir \(r(x)\) e \(f(x)\), integrar e fazer as contas