Calcular volume da rotação de um círculo
07 fev 2016, 16:24
Bom dia amigos, vou ter exame em breve e saber esse tipo de questão é essencial:
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do círculo \(x^2 + y^2\leq 1\) em torno da reta \(x + y = 2\)
O problema é que eu não faço ideia de por onde começar, alguém pode me ajudar?
Sei resolver qualquer outra questão de volume com figuras mais simples, mas essa me parece um bicho de 7 cabeças
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do círculo \(x^2 + y^2\leq 1\) em torno da reta \(x + y = 2\)
O problema é que eu não faço ideia de por onde começar, alguém pode me ajudar?
Sei resolver qualquer outra questão de volume com figuras mais simples, mas essa me parece um bicho de 7 cabeças
Re: Calcular volume da rotação de um círculo
07 fev 2016, 20:08
Olá,
A distância do centro do círculo até a reta dada é \(\sqrt{2}\), concorda?
Se assim for, \(dV = \pi \left[ \left(\sqrt{2}+\sqrt{1-y^2)\right)^2 - \left(\sqrt{2}-\sqrt{1-y^2)\right)^2 \right]dy\) e o volume será \(V=\int_{-1}^{1}dV\). O que acha, dá pra desenvolver com isto?
A distância do centro do círculo até a reta dada é \(\sqrt{2}\), concorda?
Se assim for, \(dV = \pi \left[ \left(\sqrt{2}+\sqrt{1-y^2)\right)^2 - \left(\sqrt{2}-\sqrt{1-y^2)\right)^2 \right]dy\) e o volume será \(V=\int_{-1}^{1}dV\). O que acha, dá pra desenvolver com isto?
Re: Calcular volume da rotação de um círculo
07 fev 2016, 20:22
lucas,
pela equação reduzida do círculo, tiramos:
\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
(x-0)^2 + (y-0)^2 \leq 1\)
centro do círculo: C(a,b)=C(0,0)
raio do círculo: r2 = 1 ou r= 1
se, a rotação deste círculo gera um CILINDRO com raio de base \(r \leq 1\), e, a altura h é determinada pela equação da reta x+y=2. Então, podemos dizer que: x+Y=2r, ou seja, h = 2.
logo,
o volume máximo do cilindro é:
\(V = \pi.r^2.h
V = 2\pi\)
pela equação reduzida do círculo, tiramos:
\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
(x-0)^2 + (y-0)^2 \leq 1\)
centro do círculo: C(a,b)=C(0,0)
raio do círculo: r2 = 1 ou r= 1
se, a rotação deste círculo gera um CILINDRO com raio de base \(r \leq 1\), e, a altura h é determinada pela equação da reta x+y=2. Então, podemos dizer que: x+Y=2r, ou seja, h = 2.
logo,
o volume máximo do cilindro é:
\(V = \pi.r^2.h
V = 2\pi\)
Re: Calcular volume da rotação de um círculo
08 fev 2016, 22:17
Fraol Escreveu:Olá,
A distância do centro do círculo até a reta dada é \(\sqrt{2}\), concorda?
Se assim for, \(dV = \pi \left[ \left(\sqrt{2}+\sqrt{1-y^2)\right)^2 - \left(\sqrt{2}-\sqrt{1-y^2)\right)^2 \right]dy\) e o volume será \(V=\int_{-1}^{1}dV\). O que acha, dá pra desenvolver com isto?
Olá amigo, tudo bem?
Você poderia por favor me explicar como chegou nessa fórmula? Agradeço sua resposta.
Re: Calcular volume da rotação de um círculo
09 fev 2016, 01:05
Oi,
Eu usei o método das arruelas (Washer method).
Na arruela (círculo com buraco no meio), a área é dada por \(\pi(R^2-r^2)\), \(R\) é o raio maior e \(r\) é o raio menor.
O volume de uma arruela de espessura \(dy\) é \(dV = \pi(R^2-r^2)dy\).
Colocando \(x\) em função de \(y\) em \(x^2 + y^2 = 1\), usando as distância à reta teremos \(R\) e \(r\). Assim cheguei na expressão do volume do sólido.
Lucas2803 Escreveu:Você poderia por favor me explicar como chegou nessa fórmula?
Eu usei o método das arruelas (Washer method).
Na arruela (círculo com buraco no meio), a área é dada por \(\pi(R^2-r^2)\), \(R\) é o raio maior e \(r\) é o raio menor.
O volume de uma arruela de espessura \(dy\) é \(dV = \pi(R^2-r^2)dy\).
Colocando \(x\) em função de \(y\) em \(x^2 + y^2 = 1\), usando as distância à reta teremos \(R\) e \(r\). Assim cheguei na expressão do volume do sólido.