Aréas e centroides com integrais
04 jun 2016, 23:34
Marque as coordenadas do centroide definida por y=5x-x² e y=4.
Re: Aréas e centroides com integrais
05 jun 2016, 22:40
Região definida pelas funções:
Fazendo\(f(x)=5x-x^{2}\;e\; g(x)=4;\; f(x)=g(x) \Rightarrow x=1\; ou\; x=4\)
A função \(f(x)=5x-x^{2}\) tem derivada \({f}'(x)=5-2x\), que se anula em \(x=5/2\), como se trata de uma parábola, este ponto é o vértice.
O coeficiente do termo \(x^{2}\) é negativo (é -1), portanto a parábola tem concavidade para baixo, então na região \(1\leq x\leq 4\) y é maior que 4.
O centroide faz uma 'média ponderada' da área na qual os pesos são a diferença\(f(x)-g(x)\), onde \(f(x)\geq g(x)\), que é o caso.
Por simetria \(x_c=2.5\), mas usando as fórmulas:
\(Area=\int_{1}^{4}f(x)-g(x)dx=\int_{1}^{4}5x-x^{2}-4dx=4.5\)
\(M_1x=\int_{1}^{4}x(f(x)-g(x))dx=\int_{1}^{4}x(5x-x^{2}-4)dx=11.25\)
\(M_1y=\int_{1}^{4}(f(x)-g(x))(\frac{f(x)+g(x)}{2})dx=\int_{1}^{4}(5x-x^{2}-4)\frac{(5x-x^{2}+4)}{2}dx=22.05\)
Portanto:
\(x_c=\frac{M_1x}{Area}=2.5\)
\(y_c=\frac{M_1y}{Area}=4.9\)
Fazendo\(f(x)=5x-x^{2}\;e\; g(x)=4;\; f(x)=g(x) \Rightarrow x=1\; ou\; x=4\)
A função \(f(x)=5x-x^{2}\) tem derivada \({f}'(x)=5-2x\), que se anula em \(x=5/2\), como se trata de uma parábola, este ponto é o vértice.
O coeficiente do termo \(x^{2}\) é negativo (é -1), portanto a parábola tem concavidade para baixo, então na região \(1\leq x\leq 4\) y é maior que 4.
O centroide faz uma 'média ponderada' da área na qual os pesos são a diferença\(f(x)-g(x)\), onde \(f(x)\geq g(x)\), que é o caso.
Por simetria \(x_c=2.5\), mas usando as fórmulas:
\(Area=\int_{1}^{4}f(x)-g(x)dx=\int_{1}^{4}5x-x^{2}-4dx=4.5\)
\(M_1x=\int_{1}^{4}x(f(x)-g(x))dx=\int_{1}^{4}x(5x-x^{2}-4)dx=11.25\)
\(M_1y=\int_{1}^{4}(f(x)-g(x))(\frac{f(x)+g(x)}{2})dx=\int_{1}^{4}(5x-x^{2}-4)\frac{(5x-x^{2}+4)}{2}dx=22.05\)
Portanto:
\(x_c=\frac{M_1x}{Area}=2.5\)
\(y_c=\frac{M_1y}{Area}=4.9\)
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