Coloque aqui todas as dúvidas que tiver sobre primitivas e integrais. Primitivação imediata, primitivação por partes e por substituição, primitivas de funções racionais próprias e impróprias
14 dez 2012, 19:23
Por favor, preciso de auxílio para resolução da integral:
\(\int_{0}^{a} x\sqrt{x^{2}+a^{2}}dx\: \, (a>0)\)
Resposta: \(\frac{1}{3}\left (2\sqrt{2}-1 \right )a^{3}\)
14 dez 2012, 22:36
Olá Fabiana,
boa noite!
Essa integral sai por substituição simples, veja:
Considere \(\fbox{x^2 + a^2 = \lambda}\), então \(\begin{cases} x^2 + a^2 = \lambda \\ d\lambda = 2x \,\, dx \Rightarrow \fbox{x \,\, dx = \frac{d\lambda }{2}} \end{cases}\)
\(\int_{0}^{a} x\sqrt{x^2 + a^2} \,\, dx =\)
\(\int_{0}^{a} \sqrt{x^2 + a^2} \cdot x \,\, dx =\)
\(\int_{0}^{a} \sqrt{\lambda } \cdot \frac{d\lambda }{2} =\)
\(\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{a} \lambda ^{\frac{1}{2}} \,\, d\lambda =\)
\(\left [ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \lambda ^{\frac{3}{2}} \right ]_{0}^{a} =\)
\(\left [ \frac{1}{3} \cdot \sqrt[2]{\lambda ^3} \right ]_{0}^{a} =\)
\(\left [ \frac{\lambda \sqrt{\lambda }}{3} \right ]_{0}^{a} =\)
\(\left [ \frac{(x^2 + a^2)\sqrt{(x^2 + a^2)}}{3} \right ]_{0}^{a} =\)
\(\begin{cases} F(a) = \frac{(a^2 + a^2)\sqrt{(a^2 + a^2)}}{3} \Rightarrow F(a) = \frac{2a^3\sqrt{2}}{3} \\\\ F(0) = \frac{(0 + a^2)\sqrt{(0 + a^2)}}{3} \Rightarrow F(0) = \frac{a^3}{3} \end{cases}\)
\(F(a) - F(0) =\)
\(\frac{2a^3\sqrt{2}}{3} - \frac{a^3}{3} =\)
\(\fbox{\fbox{\fbox{\frac{a^3}{3}\left ( 2\sqrt{2} - 1 \right )}}}\)
Espero ter ajudado!
Daniel F.
14 dez 2012, 23:34
Obrigada Daniel, ajudou sim!
15 dez 2012, 01:33
Que bom!
Até breve.
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