Ajuda com integral
16 dez 2012, 23:38
Olá, estou precisando de ajuda para com a resolução da integral \(\int_{\frac{-\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\, \frac{x^{4}\, tg\, x}{2+cos\, x}\, dx\)
A resposta é 0
A resposta é 0
Re: Ajuda com integral
18 dez 2012, 00:21
Que integral intrigante é essa hein?
Estou a pensar...
Estou a pensar...
Re: Ajuda com integral
18 dez 2012, 13:19
isso talvez dê com a substituição de Weierstrass
http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_substitution
Abraços
http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_substitution
Abraços
Re: Ajuda com integral
18 dez 2012, 13:26
Com a referida substituição
onde
\(\begin{align}
\sin x = \frac{2t}{1 + t^2} \\
\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \\
\mathrm{d}x = \frac{2 \,\mathrm{d}t}{1 + t^2}.
\end{align}\)
então
\(tg x=\frac{sin x }{cos x}=\frac{\frac{2t}{1 + t^2}}{\frac{1 - t^2}{1 + t^2}}=\frac{2t}{1-t^2}\)
\(t=\tan (x/2)\)
humm... talvez não dê assim
onde
\(\begin{align}
\sin x = \frac{2t}{1 + t^2} \\
\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \\
\mathrm{d}x = \frac{2 \,\mathrm{d}t}{1 + t^2}.
\end{align}\)
então
\(tg x=\frac{sin x }{cos x}=\frac{\frac{2t}{1 + t^2}}{\frac{1 - t^2}{1 + t^2}}=\frac{2t}{1-t^2}\)
\(t=\tan (x/2)\)
humm... talvez não dê assim
Re: Ajuda com integral
18 dez 2012, 13:30
e por partes?
Derivando \(x^4\) e primitivando \(\frac{tg x}{2+cos x}\) ?
Derivando \(x^4\) e primitivando \(\frac{tg x}{2+cos x}\) ?
Re: Ajuda com integral
18 dez 2012, 21:37
Boa noite,
Substituição de Weierstrass, boa lembrança João P. Ferreira!
Por partes, ao desenvolver fica cada vez mais trabalhosa.
Não estou vendo um caminho, ou essa integral é bem difícil ou é muito fácil, ou a tela do meu smartphone é muito pequena, hehehe ...
Fabiana_ams, esse problema é de algum livro, pode, por favor, passar a referência?
.
Substituição de Weierstrass, boa lembrança João P. Ferreira!
Por partes, ao desenvolver fica cada vez mais trabalhosa.
Não estou vendo um caminho, ou essa integral é bem difícil ou é muito fácil, ou a tela do meu smartphone é muito pequena, hehehe ...
Fabiana_ams, esse problema é de algum livro, pode, por favor, passar a referência?
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Re: Ajuda com integral
19 dez 2012, 19:49
Olá, boa tarde.
Depois de pensar um pouco e tentar alguns cálculos, inclusive com as dicas do João acima, e ver que a função primitiva ficava cada vez mais complexa, literalmente pois começam a aparecer alguns \(e^{it}\) e etc.
Resolvi pelo seguinte caminho, um pouco mais analítico:
Nós temos na composição da função a integrar um quociente de duas funções par, \(t^4\) e \(2 + cos(t)\), multiplicado por uma função ímpar, \(tg(t)\), o que nos dá como resultado uma função ímpar. Além disso temos um intervalo de integração, diferente de zero, e simétrico em relação à origem. E nesse intervalo temos o produto de funções contínuas que, também, resulta em uma função contínua.
Assim, pelo Teorema da Integral Definida de Função Ímpar ( ver teorema e prova aqui ), a integral procurada é igual a zero.
.
Depois de pensar um pouco e tentar alguns cálculos, inclusive com as dicas do João acima, e ver que a função primitiva ficava cada vez mais complexa, literalmente pois começam a aparecer alguns \(e^{it}\) e etc.
Resolvi pelo seguinte caminho, um pouco mais analítico:
Nós temos na composição da função a integrar um quociente de duas funções par, \(t^4\) e \(2 + cos(t)\), multiplicado por uma função ímpar, \(tg(t)\), o que nos dá como resultado uma função ímpar. Além disso temos um intervalo de integração, diferente de zero, e simétrico em relação à origem. E nesse intervalo temos o produto de funções contínuas que, também, resulta em uma função contínua.
Assim, pelo Teorema da Integral Definida de Função Ímpar ( ver teorema e prova aqui ), a integral procurada é igual a zero.
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Re: Ajuda com integral
19 dez 2012, 22:37
Preciso estudar mais sobre isso.. Obrigada pela resposta!
Re: Ajuda com integral
25 dez 2012, 22:12
fraol Escreveu:Olá, boa tarde.
Depois de pensar um pouco e tentar alguns cálculos, inclusive com as dicas do João acima, e ver que a função primitiva ficava cada vez mais complexa, literalmente pois começam a aparecer alguns \(e^{it}\) e etc.
Resolvi pelo seguinte caminho, um pouco mais analítico:
Nós temos na composição da função a integrar um quociente de duas funções par, \(t^4\) e \(2 + cos(t)\), multiplicado por uma função ímpar, \(tg(t)\), o que nos dá como resultado uma função ímpar. Além disso temos um intervalo de integração, diferente de zero, e simétrico em relação à origem. E nesse intervalo temos o produto de funções contínuas que, também, resulta em uma função contínua.
Assim, pelo Teorema da Integral Definida de Função Ímpar ( ver teorema e prova aqui ), a integral procurada é igual a zero.
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Excelente raciocínio Francisco
e eu aqui a tentar achar a primitiva, claro o enunciado está feito para que tivesse uma primitiva muito difícil, para que fosse usado o facto de a função integranda ser ímpar, e o intervalo de integração ser simétrico
ou seja cara Fabiana
uma função é ímpar se \(f(-x)=-f(x)\)
então neste caso
\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx\)
fazendo uma mudança de variável no primeiro integral \(x=-t\) o que dá \(\frac{dx}{dt}=-1\)
\(\int_{a}^{0}f(-t)(-dt)+\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{a}^{0}(-f(-t))dt+\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{a}^{0}f(t)dt+\int_{0}^{a}f(x)d=-\int_{0}^{a}f(t)dt+\int_{0}^{a}f(x)dx=0\)