Integrais indefinidos, integração por substituição

[anafonseca5737]

Olá, já tentei imensas vezes resolver este integral, inclusive eu e a minha colega de casa estivemos debruçadas nele durante bastante tempo e não conseguimos chegar a nenhuma resposta.
Problema: ∫sin³x/(2-sin²x) dx, fazendo u=cosx
Uma das minhas tentativas: u'= -sinx du=-sinx dx
∫sin³x/(2-sin²x) dx= ∫(-sin²x/2-sin²x)*(-sinx) dx= ∫(-(1-cos²x)/(2-(1-cos²x)))(-sinx) dx= ∫-(1-u²)/(1+u²) du
O que estou a fazer mal?

[alod]

Não há nada errado. Você tem que continuar. Divida 1-u² por 1+u²:
(1-u²) = (1+u²)*(-1) + 2,
(1-u²)/(1+u²) = 2/(1+u²) - 1
A integral de 1/(1+x²) é conhecida, daí você resolve o problema.