primitivação por substituiçao

[rodrigonapoleao]

Alguém me explica como faço a primitivação por substituição?

Por exemplo no exercício \(\frac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}\)

[João P. Ferreira]

Fazes a substituição \(\sqrt{x}=t\) que significa que \(x=t^2\)

então \(x'=2t\)

que resulta em

\(P\frac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}=P\frac{t^2+t}{t^2-t}2t=2P\frac{t^2+t}{t-1}\)

que dá uma função racional

[João P. Ferreira]

Alguém me explica como faço a primitivação por substituição?

Tens de tentar fazer uma substituição de forma que após a substituição estejas perante uma expressão que saibas resolver. Por exemplo no caso acima, o facto de haver uma raiz complicava as coisas, mas quando fiz a substituição fiquei com uma fração de polinómios que sabemos resolver. O princípio é sempre o da simplicidade, procurar uma substituição que torne possível, ou mais simples, a primitivação.

Lembra-te que no fim, tens de adicionar sempre \(x'=\frac{dx}{dt}\)

[rodrigonapoleao]

mas se fizer \(t=\sqrt{x}\) não fica \(t'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ?

[João P. Ferreira]

a derivação é sempre de \(x\) em ordem a \(t\), ou seja

\(x'=\frac{dx}{dt}\)

como

\(t=\sqrt{x}\)

\(x=t^2\)

então

\(x'=2t\)