Integral ∫cos^5t/√sentdt

[Fabiana_ams]

Olá, estou precisando de ajuda para resolver esta integral:


\(\int \frac{cos^{5}\alpha}{\sqrt{sen\alpha } }\, d\alpha\)


Grata.

[santhiago]

Boa tarde . Note que , \(cos^5(\alpha) = cos(\alpha) [cos^2(\alpha)]^2 = cos(\alpha)[1-sin^2(\alpha)]^2\) .

Recomendo que faça \(\gamma = sin(\alpha)\) pois \(d\gamma = cos(\alpha) d\alpha\) . Tente concluir , qualquer coisa comente .

[santhiago]

Boa noite , Fabiana_ams . Conseguiu concluir o exercício ? Se permanecer dúvidas ,post neste tópico por favor .

[Fabiana_ams]

Boa noite Santiago,

Não consegui pois minha resposta não bate com a do gabarito, que por sinal é

\(\frac{2}{45}\sqrt{sen\alpha}\, (45-18sen^{2}\alpha +15sen^{4}\alpha )+C\)

[santhiago]

Boa noite .

Antes de tudo uma observação , ao invés da susbstituição que sugerir anteriormente .Façamos \(\lambda = \sqrt{sin(\alpha)\) .


Veja por que , temos :

\(F(\alpha) = \int \frac{cos^5(\alpha)}{\sqrt{sin(\alpha)}}d\alpha\)

\(\rightarrow F(\alpha) = \int [cos^2(\alpha)]^2 \cdot \frac{cos(\alpha)}{\sqrt{sin(\alpha)}} d\alpha\) .


Observações :

1) \(cos^4(\alpha) = [cos(\alpha)]^4 = [[cos(\alpha)]^2]^2 = [cos^2(\alpha)]^2 .\)

2) \(cos^2(\alpha) + sin^2(\alpha) = 1\) . (Identidade trigonométrica fundamental)


3 ) \(\sqrt{sin(\alpha) }= [sin(\alpha) ]^{1/2}\) .

Assim , tomando a derivada de \(\lambda = [sin(\alpha) ]^{1/2}\) em relação a \(\alpha\) segue que :

\(\frac{d}{d\alpha}\left( [sin(\alpha)]^{1/2} \right) = \frac{d}{d\alpha}\lambda\) (Atenção ! Vamos utilizar a regra da cadeia )

\(\frac{d}{d(sin(\alpha))}[sin(\alpha)]^{1/2} \cdot \frac{d}{d\alpha}sin(\alpha) = \frac{1}{2}\cdot [sin(\alpha)]^{\frac{1}{2} - 1} cos(\alpha)= \frac{cos(\alpha)}{2\sqrt{sin(\alpha)}} = \frac{d}{d\alpha}\lambda\)

Logo , \(\frac{cos(\alpha)}{\sqrt{sin(\alpha)}} d\alpha = 2 d\lambda\) .

Agora veja as obervações 1) e 2) . Fazendo as substituições , prossegue-se que :

\(F(\lambda) = 2 \int \left(1-\lambda^4\right) ^2 d\lambda\)

\(\rightarrow F(\lambda) = 2\int \left( 1 -2\lambda^4 +\lambda^8\right )d\lambda\)


Esta integral é fácil de resolver , deixo como exercício para você tentar finalizar . No entanto se não conseguir só postar .

Segue o roteiro : (após resolver a integral )

1) Deixe \(2\lambda\) em evidência .

2) Multiplique \(F(\lambda)\) por \(\frac{45}{45} = 1\)(1 elemento neutro do produto ) ,deixe \(1/45\) em evidência .

3) Faça a susbtituição \(\lambda = \sqrt{sin(\alpha)\)


Pronto é isto .

[Fabiana_ams]

Olá Santhiago, obrigada pelas dicas!

Vc chegou à mesma resposta do gabarito? Porque eu resolvi e acabei chegando a \(\frac{2}{45}\sqrt{sen\alpha }\, (45-18sen^{2}\alpha +5sen^{4}\alpha )+ C\)

No gabarito é 15 no lugar do 5 antes do sen^4 Será que fiz alguma besteira? O engraçado é que os outros valores batem direitinho...

[santhiago]

Boa tarde , estou sem tempo para postar a solução completa .Mas o gabarito estar errado e sua resposta estar correta .

Segundo o wolfram alpha o resultado da sua integral é :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5 ... %29%29++dx

Atenção ! Usando o site wolfram alpha novamente eu comparei sua resposta com a mesma acima ,veja :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1% ... x%29%29%5D

Perceba que estar correto . Pois o resultado é verdadeiro .

[Fabiana_ams]

Que bom!! Não conhecia esse Wolfram alpha.

Obrigada pela resposta!