Dúvida na resolução de uma integral trigonometrica tan (x)

[caioquinterno]

O exercício é:
\(\int tan (x) dx\)

Quando eu integro fica \(ln |sec x| + C\), mas no gabarito a resposta fica \(- ln(cos(x)) + C\)
Alguém pode me explicar o pq de ficar \(- ln(cos(x)) + C\) e nao \(ln |sec x| + C\) que é antiderivada da tan.

Obrigado desde já.

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Veja que:
\(\ln\left|\sec x\right|=\ln\left|\dfrac{1}{\cos x}\right|=\ln\left|\cos^{-1} x\right|=-1\cdot\ln\left|\cos x\right|=-ln\left|\cos x\right|\)

Espero ter ajudado!