Integral impropria

[vanin]

olá , estou com muita dificuldades em entender integrais improprias tipo:


\(\int_{0}^{\propto }\frac{1}{\sqrt{x(x+4)}}dx\)


\(\int_{-\propto }^{0}e^xsen2xdx\)


\(\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt{x}} ln \frac{x}{2}dx\)

[Sobolev]

Tem apenas que, em cada caso, aplicar a definição de integral impróprio... Ficará depois com um limite para calcular.

\(\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x(x+4)}}dx\)

\(= \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x(x+4)}}\, dx + \int_1^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x(x+4)}}\,dx= \lim_{a\to 0} \int_a^1\frac{1}{\sqrt{x(x+4)}}\,dx + \lim_{b \to +\infty} \int_1^b \frac{1}{\sqrt{x(x+4)}}\,dx\)

Agora apenas tem que calcular os integrais (próprios), dependentes de a e b e, finalmente, calcular os limites. Se os limites existirem, o integral impróprio inicial é convergente. Se algum dos limites não existir ou não for finito o integral impróprio é divergente. Dependendo da pergunta, pode não ter que efectivam,ente calcular estes integrais... Se apenas perguntarem se o integral é convergente ou divergente pode aplicar os critérios de convergência.

\(\int_{-\propto }^{0}e^xsen2xdx\)

\(= \lim_{a \to - \infty} \int_a^0 e^xsen2x \,dx\)

\(\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt{x}} ln \frac{x}{2}dx\)

\(= \lim_{a \to 0^+} \int_a^2 {\sqrt{x}} ln \frac{x}{2} \,dx\)

[vanin]

outra dificuldade é , encontrar uma maneira de iniciar a resolução da integral? no caso da primeira:

\(\int \frac{1}{\sqrt{x(x+4))}}dx\)=

[vanin]

será que fazendo

u = \(\sqrt{x}\)

du = \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

como continuar?

[Sobolev]

Embora não pareça, a primitiva em causa é "imediata"... Para x>0 temos

\(\int \frac{1}{\sqrt{x(x+4)}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{x+4}} \, dx = \int \frac{1/\sqrt{x}}{2 \sqrt{x/4 + 1}}\, dx= 2 \int \frac{(\sqrt{x}/2)'}{\sqrt{(\sqrt{x}/2)^2+1}}\, dx = 2 \textrm{arcsinh} (\sqrt{x}/2)+C\)

Apenas teria que reconhecer que

\(\int \frac{u'}{\sqrt{u^2+1}} \,du = \textrm{arcsinh} u + C\)

[vanin]

como fez esta igualdade?

\(\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x+4}}=\frac{1/\sqrt{x}}{2\sqrt{x/4+1}}\)

[Sobolev]

como fez esta igualdade?

\(\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x+4}}=\frac{1/\sqrt{x}}{2\sqrt{x/4+1}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x+4}} =\frac{1/sqrt{x}}{\sqrt{x+4}} = \frac{1/\sqrt{x}}{\sqrt{4(x/4 + 1)}} = \frac{1/\sqrt{x}}{\sqrt{4}\sqrt{x/4+1}}=\frac{1/\sqrt{x}}{2 \sqrt{x/4+1}}\)