Integral impropria

[vanin]

como chegar a esse resultado?

\(\int_{1}^{\propto }\frac{1}{x^3+4x}dx=\frac{ln5}{8}\)

[josesousa]

\(\int_1^{\alpha} \frac{1}{x^3+4x}dx=\)
\(\int_1^{\alpha} \frac{1}{x(x^2+4)}dx=\)
\(\int_1^{\alpha} \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4}dx\)

Consegue primitivar esta função agora? (Função racional, calcular os coeficientes A, B e C e depois são primitivas simples.)

[vanin]

\(A(x^2+4)+BX+C(x)= X^2(A+B)+X(C)+A4\)


acho que é isso como montar o sistema , agora?

[josesousa]

4A=1 , logo A=1/4
A+B=0, B=-1/4
C=0

Com isto consegue calcular o integral, que depende de \(\alpha\), não?

[vanin]

\(A= 1/4\)


\(B= -1/4\)


entao temos: \(\frac{1}{4}\int \frac{1}{x}= \frac{1}{4}ln(x)\)

- \(\frac{1}{4}.\frac{1}{2}ln(u)= \frac{1}{8}ln(x^2+4)\)

\(\lim_{t\rightarrow \propto }\left [ \frac{lnx}{4}-\frac{1}{8} ln(x^2+4)\right ]_{1}^{t}\textrm{}\)

aqui eu agarrei nas contas....