Integrais Trigonométricas

[klueger]

Tenho 3 exercícios trigonométricos para resolver, esqueci como se faz praticamente e se irei usar substituição ou identidade ..

1) \(\int\ tg^2x.sec^2x dx\)

2) ∫(sen x+sen x.tg²x.dx)/sec²x

3) ∫ dx / (cos²x .√{1+tg x})

PS: Não consegui formular no modo texto a 2 e a 3, mas pelos parênteses creio que dê para entender a divisão

[Sobolev]

1. \(\int \tan^2 x \cdot \sec^2 x\,dx = \int \tan^2 x \cdot (\tan x)'\, dx = \frac{\tan^3 x}{3} + C\)

2. \(\int \frac{\sin x + \sin x \tan^2 x}{\sec^2 x}\,dx = \int \sin x \cos^2 x + \sin^3 x \,dx = \int \sin^3x \,dx - \frac{\cos^3 x}{3} = * = -\cos x \sin^2 x - \cos^3 x + C\)

(*) podemos calcular por partes a primitiva de sin^3 ...

\(\int \sin^3 x \, dx = \int \sin x \cdot \sin^2 x \, dx = -\cos x \sin^2 x - \int -\cos x \cdot 2 \cos x \sin x \, dx = -\cos x \sin^2 x - \frac 23 \cos^3 x +C\)

3. \(\int \frac{dx}{\cos^2 x \sqrt{1+ \tan x}} = \int (\tan x)' (1+\tan x)^{-1/2}\, dx = \frac{(\tan x)^{1/2}}{1/2} + C = 2 \sqrt{\tan x} + C\)