Primitiva e integrais f(x)=(x-1)/(|x^2-2x|+1)

[marques_gc]

Olá amigos,

Estou com dificuldades em iniciar o exercício a seguir.

Seja a função f de IR tal que

\(f(x)=\frac{x-1}{(\left | x^2-2x \right |)+1}\)

e (m) um real superior a 2.

1) Calcule \(\int_{1}^{2}f(x)dx, depois \int_{1}^{m}f(x)dx.\)

2) Qual é valor médio de f sobre [1; m].

Qualquer sugestão é bem-vinda e obrigado por tempo.

[João P. Ferreira]

Boas

Primeiro lembre-se que:

\(|x|=\begin{cases}
x, \ x\ge 0 \\
-x, \ x<0 \end{cases}\)

Ou seja

\(|x^2-2x|=\begin{cases}
x^2-2x, \ x^2-2x \ge 0
-x^2+2x, \ x^2-2x <0 \end{cases}\)

Interessa estudar então a seguinte função \(x^2-2x\)

Repare que \(x^2-2x=x(x-2)\) é uma parábola e tem zeros em \(x=0\) e \(x=2\) e tem a concavidade para cima, então é equivalente escrever:

\(|x^2-2x|=\begin{cases}
x^2-2x, \ x \le 0 \vee x \ge 2
-x^2+2x, \ c.c. \end{cases}\)

Como o integral é entre x=1 e x=2 é equivalente escrever

\(\int_{1}^{2}f(x)dx=\int_{1}^{2}\frac{x-1}{|x^2-2x|+1}dx=\int_{1}^{2}\frac{x-1}{-x^2+2x+1}dx\)

que é uma primitiva conhecida (funções racionais)

para um m>2 terá que fazer o integral por partes, uma parte entre 1 e 2 e outra parte entre 2 e m

Se tiver mais dúvidas apite

Saudações pitagóricas

[marques_gc]

Agradeço os passos e vou tentar sozinho para o resto...

Muito obrigado

[João P. Ferreira]

ok, se tiver dúvidas na primitivação, passe novamente por cá...

Cumprimentos