Áreas - Integral Imprópria

[klueger]

Alguém pode ajudar?

Encontre a área sobre a curva y=\(\frac{1}{x^3}\) de x=1 a x=t e calcule-a para t = 10, 100 e 1000.
Então encontre a área total abaixo desta curva para x\(\geq 1\) .

Tem que usar conceitos de integral imprópria.

[Sobolev]

\(Area(t) = \int_1^t \frac{1}{x^3}\, dx = \left[ \frac{x^{-2}}{-2}\right]_1^t = \frac{t^{-2}}{-2} - \frac{1^{-2}}{-2} =\frac{1}{2}-\frac{1}{2t^2}\)

\(Area(10) = \frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot 10^2} = 0.495
Area(100) = \frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot 100^2} = 0.49995
Area(1000) = \frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot 1000^2} = 0.4999995\)


\(\int_1^{+ \infty} \frac{1}{x^3}\, dx = \lim_{t \to +\infty} \int_1^t \frac{1}{x^3}\, dx = \lim_{t \to +\infty} \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{2t^2}\right) = \frac{1}{2}\)