Integral - Volume de Esfera
19 mar 2013, 17:01
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Não sei deduzir esta fórmula... alguém pode ajudar?
O volume de um esfera de raio \(r\) é dado por \(V = \frac{4}{3}.\pi.r^3\).
Com o estudo de integrais podemos provar que realmente esta fórmula do volume é verdadeira, basta pensar que uma esfera de raio \(r\) é gerada pela rotação em torno do eixo x da circunferência \(x^2+y^2=r^2\).
Sendo assim usando os conceitos de volume de sólido de revolução prove a fórmula do volume da esfera
Não sei deduzir esta fórmula... alguém pode ajudar?
O volume de um esfera de raio \(r\) é dado por \(V = \frac{4}{3}.\pi.r^3\).
Com o estudo de integrais podemos provar que realmente esta fórmula do volume é verdadeira, basta pensar que uma esfera de raio \(r\) é gerada pela rotação em torno do eixo x da circunferência \(x^2+y^2=r^2\).
Sendo assim usando os conceitos de volume de sólido de revolução prove a fórmula do volume da esfera
Re: Integral - Volume de Esfera [resolvida]
19 mar 2013, 22:21
Se se trata de uma esfera, o melhor a fazer é usar coordenadas esféricas
\({x}=r \, \sin\phi \, \cos\theta \quad\)
\({y}=r \, \sin\phi \, \sin\theta \quad\)
\({z}=r \, \cos\phi\quad\)
\(r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
Lembre-se que quando integra em coordendas esféricas tem que incluir dentro do integral o termo \(r^2sen(\phi)\)
o volume será
\(V=\int_{0}^{r}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}r^2 sen(\phi) d\phi d\theta dr=\int_{0}^{r}r^2 \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}sen(\phi) d\phi d\theta dr=\)
\(=\int_{0}^{r}r^2 \int_{0}^{2\pi}(-cos(\pi)+cos(0)) d\theta dr=2\int_{0}^{r}r^2 \int_{0}^{2\pi}1 d\theta dr=2\int_{0}^{r}r^2 (2\pi-0) dr=4\pi \int_{0}^{r}r^2 dr=\)
\(=4\pi \left[\frac{r^3}{3}\right]_{0}^r=\frac{4}{3}\pi r^3\)
c.q.d
\({x}=r \, \sin\phi \, \cos\theta \quad\)
\({y}=r \, \sin\phi \, \sin\theta \quad\)
\({z}=r \, \cos\phi\quad\)
\(r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
Lembre-se que quando integra em coordendas esféricas tem que incluir dentro do integral o termo \(r^2sen(\phi)\)
o volume será
\(V=\int_{0}^{r}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}r^2 sen(\phi) d\phi d\theta dr=\int_{0}^{r}r^2 \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}sen(\phi) d\phi d\theta dr=\)
\(=\int_{0}^{r}r^2 \int_{0}^{2\pi}(-cos(\pi)+cos(0)) d\theta dr=2\int_{0}^{r}r^2 \int_{0}^{2\pi}1 d\theta dr=2\int_{0}^{r}r^2 (2\pi-0) dr=4\pi \int_{0}^{r}r^2 dr=\)
\(=4\pi \left[\frac{r^3}{3}\right]_{0}^r=\frac{4}{3}\pi r^3\)
c.q.d
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