Função logarítmica neperiana

[marques_gc]

Boas a todos,

Tenho dificuldades em resolver este exercício.
Agradeço a vossa indesvendável ajuda.

Questão:

Temos: \(K=\int_{\sqrt{2}}^{2}\frac{dx}{\sqrt{x^{2}-1}}\)

Seja f a função de \(]1,+\infty[\) em IR definida pela:

\(f(x)=1n(x+\sqrt{x^{2}-1})\)

Calcule a função derivada de f. Deduzir o valor de K.

Muito obrigado antecipadamente.

[João P. Ferreira]

Boas meu caro

Se tem

\(f(x)=1n(x+\sqrt{x^{2}-1})\)

Calculemos então a derivada de \(f(x)\)

Lembre-se que \((ln(u))'=\frac{u'}{u}\)

Então:

\(\frac{d f(x)}{dx}=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})'}{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac{1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}}{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac{\frac{\sqrt{x^2-1}+x}{\sqrt{x^2-1}}}{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)

Então repare que \(f(x)\) é uma primitiva da função que está no integral.
Assim pela regra fundamental do cálculo:

\(K=f(2)-f(\sqrt{2})\)