Exercício transformação de coordenadas polares em integrais
30 mar 2012, 18:55
Peço ajuda, agora, no seguinte integral, passando para coordenadas polares:
\(\int_{0}^{2}\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} dy dx\)
Penso que \(0\leq \theta \leq \frac{\pi }{4}\), certo?
E quanto a r?
\(\int_{0}^{2}\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} dy dx\)
Penso que \(0\leq \theta \leq \frac{\pi }{4}\), certo?
E quanto a r?
Re: Exercício transformação de coordenadas polares em integr
02 abr 2012, 16:17
A função integranda é basicamente (1/r).
Logo, ao mudar para coordenadas polares vamos integrar em \(\theta\) e \(\rho\) a função (1/r).r = 1.
Se desenharmos a área de integração, dá-nos um triângulo. A fronteira é a condição y=0, y=x e, importante, x=2.
Se x=2, temos \(\rho cos(\theta) = 2\)
Logo temos a relação extra que falta
\(\rho \leq 2/cos(\theta)\)
Logo, ao mudar para coordenadas polares vamos integrar em \(\theta\) e \(\rho\) a função (1/r).r = 1.
Se desenharmos a área de integração, dá-nos um triângulo. A fronteira é a condição y=0, y=x e, importante, x=2.
Se x=2, temos \(\rho cos(\theta) = 2\)
Logo temos a relação extra que falta
\(\rho \leq 2/cos(\theta)\)
Re: Exercício transformação de coordenadas polares em integr
02 abr 2012, 20:45
Então, como \(1\leq x\leq 2\), vamos ter \(\frac{1}{cos\theta }\leq r\leq \frac{2}{cos \Theta }\).
Vamos ter então que calcular \(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\int_{\frac{1}{cos \theta }}^{\frac{2}{cos \theta }}1 dr d\theta\).
Pelas minhas "contas", chego ao resultado \(ln(1+\frac{\sqrt{2}}{2})\). No entanto, nas soluções indicadas o resultado é
\(ln(1+sqrt{2})\).
Não consigo detetar onde provavelmente errei. Chegando à parte \(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{cos \theta } d\Theta\), resolvi por substituição t=cos \(\theta\)
e t' =-sen \(\theta\).
Estará a faltar algum pormenor?
Obrigado!
Vamos ter então que calcular \(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\int_{\frac{1}{cos \theta }}^{\frac{2}{cos \theta }}1 dr d\theta\).
Pelas minhas "contas", chego ao resultado \(ln(1+\frac{\sqrt{2}}{2})\). No entanto, nas soluções indicadas o resultado é
\(ln(1+sqrt{2})\).
Não consigo detetar onde provavelmente errei. Chegando à parte \(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{cos \theta } d\Theta\), resolvi por substituição t=cos \(\theta\)
e t' =-sen \(\theta\).
Estará a faltar algum pormenor?
Obrigado!
Re: Exercício transformação de coordenadas polares em integr
02 abr 2012, 23:15
Meu caro
Apenas um detalhe:
\(0 \leq r\leq \frac{2}{cos \theta }\)
Cumprimentos
Apenas um detalhe:
\(0 \leq r\leq \frac{2}{cos \theta }\)
Cumprimentos
Re: Exercício transformação de coordenadas polares em integr
03 abr 2012, 19:59
Mas como x varia de 1 a 2, isto não vai influenciar também o raio?
Podia explicar o porquê de \(0\leq r\leq \frac{2}{cos \theta }\)?
Obrigado!
Podia explicar o porquê de \(0\leq r\leq \frac{2}{cos \theta }\)?
Obrigado!
Re: Exercício transformação de coordenadas polares em integr
04 abr 2012, 00:02
Boas...
Como é que o \(x\) varia entre 1 e 2?
No integral inicial que nos forneceu o \(x\) varia entre 0 e 2
Como é que o \(x\) varia entre 1 e 2?
No integral inicial que nos forneceu o \(x\) varia entre 0 e 2
Re: Exercício transformação de coordenadas polares em integr
04 abr 2012, 18:53
Tem toda a razão. Peço desculpa. O engano foi meu quando passei o integral para cá.
Portanto, o exercício inicial é na realidade \(\int_{1}^{2}\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} dy dx\).
.
Portanto, o exercício inicial é na realidade \(\int_{1}^{2}\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} dy dx\).
.
Re: Exercício transformação de coordenadas polares em integr
05 abr 2012, 16:38
Então o intervalo que vc utilizou está correto