Duvida em Primitiva simples - P(sqrt(4-x^2))

[caleiro]

Qual o desenvolvimento de : integrate sqrt(4-x^2) substituição. x= a sin t

[João P. Ferreira]

Caro caleiro
Desculpa pela resposta tardia

Aqui vai:
para calculares P sqrt(4-x²) fazes a substituição x=2*sen(t)

trabalhemos a substituição:
x=2*sen(t) <=> x'=2*cos(t)

então

P sqrt(4-x²) = P sqrt(4-(2*sin(t))²)*2cos(t)=4Pcos²(t)

Sabemos que cos²(t)=(1+cos(2t))/2 então

4Pcos²(t)=4P(1+cos(2t))/2 = 2P(1+cos(2t)) = 2t + sen(2t) + C = 2t + 2*sen(t)*cos(t) + C =
= 2t + 2*sen(t)*sqrt(1-sen²(t)) + C

ora a substituição era
x=2*sen(t) <=> t=arcsin(x/2)

substituindo dá

2*arcsin(x/2) +2(x/2)*sqrt(1-(x/2)²) + C = 2*arcsin(x/2) + (1/2)*sqrt(4-x²) + C

o resultado está certo, podes confirmar no Wolfram
fica bem e volta sempre

Abraços

[tmcj]

Boa tarde,

como é que passaste chegaste a este resultado? 4Pcos2(t)



P sqrt(4-x2) = P sqrt(4-(2*sin(t))2)*2cos(t)=4Pcos2(t)

Obrigado.

[João P. Ferreira]

Isto

\(P \sqrt{4-x^2} = P \sqrt{4-(2sin(t))^2}.2cos(t)=4Pcos^2(t)\)

é válido porque arranjei uma substituição

\(x=2 sen(t)\)

e então

\(x'=2 cos(t)\)

tal deriva da regra da primitivação por substituição

lembre-se ainda que \(1-sen^2t=cos^2t\)

[tmcj]

Obrigado pelo esclarecimento