integral

[cloud460]

Não consegui resolver isso de forma alguma.
Tentei colocar essa integral no meu wolfram e n deu resposta

Anexos

[santhiago]

Boa tarde . Note que \(log(x+1) > log(x) \forall x\in [e,+\infty)\) . Logo , \(1> log(x)/log(x+1) > 0\) e portanto \(\frac{1}{x^2} > \frac{log(x)}{x^2log(x+1)} > 0\) donde segue pela monotonicidade da integral ,

\(\int_e^{+\infty} 1/x^2 dx \geq \int_e^{+\infty}\frac{log(x)}{x^2log(x+1)}dx > 0\) .

Agora tente concluir e comente as dúvidas .

[cloud460]

entendi , mas eu ainda n sei resolver a segunda integral.
alias, tem que resolver?

[santhiago]

Boa noite .Note que \(\int_e^{\infty} 1/x^2 dx = 1/e = e^{-1}\) .Assim ,sendo \(I :=\int_e^{\infty} \frac{log(x)}{x^2log(x+1)}dx\) ,temos \(e^{-1} \geq I > 0\) , logo \(-1= log(e^{-1}) \geq log(I)\) ,donde chega-se a conclusão \(log(I) + 1 \leq 0\) .

[cloud460]

não entendi a parte do -1=log(e^-1)>=log(I)

especificamente a parte do*-1* = ....

[santhiago]

Note que \(e^{-1} \geq I\) ,logo \(log(e^{-1}) \geq log(I)\) .Mas , \(log(e^{-1}) = - log(e) = - 1\) , ou seja , \(-1 \geq log(I)\) .

Daí ,

\(0\geq log(I) + 1\) .

De qualquer forma ,a princípio , minha solução proposta está incorreta . Conversei com meu professor de Calc. 2 a respeito desta questão .Vou tentar fazer esta questão de outra forma .