Qual a soluçao geral das seguintes EDOs:

[smgp77]

a) y' - sqrt(1-x^2) =0

b) y' - (x^4 +x^2 -1) / (x^2 +1)

[josesousa]

São as duas separáveis, isto é, consigo ter uma expressão em função de y de um dos lados e outra em função de x no outro.

Só resolvo a a), porque a outra é similar.

a)
\(y' - \sqrt{1-x^2} =0\)
\(\frac{dy}{dx}=\sqrt{1-x^2}\)
\(1dy=\sqrt{1-x^2}dx\)
\(\int 1dy=\int \sqrt{1-x^2}dx\)

Agora um cálculo auxiliar para \(\int \sqrt{1-x^2}dx\)
Seja sen(z)=x, x'=cos(z) e
\(\int \sqrt{1-x^2}dx=\int \sqrt{1-sen^2(z)}cos(z)dz\)
\(\int cos^2(z)dz=\)
\(\frac{1}{2}\int 1+cos(2z)dz=\)
\(\frac{1}{2}\[z+sen(2z)/2 \]=\)
\(\frac{z}{2}+\frac{sen(2z)}{4} =\)
\(\frac{arcsen(x)}{2}+\frac{sen(2arcsen(x))}{4}\)

Por fim

\(\int 1dy=\int \sqrt{1-x^2}dx\)
\(y=\frac{arcsen(x)}{2}+\frac{sen(2arcsen(x))}{4} +C\)

Podia simplificar a expressão final, mas são detalhes

[smgp77]

Uma dúvida, no cálculo auxiliar a escolha da função sen(z)= x é propositada para simplificar os cálculos, mas noutros casos terei que escolher outras funções mais convenientes ou estou errada?

[josesousa]

Está certa. Depende do caso