[Cáculo de Integral] Soma de Riemann

[amadeu]

Olá pessoal.

Desejava a vossa ajuda para a questão que se segue:

Calcular a integral definida de \(1/x^2\) de \(1\) até \(2\), usando o limite das somas de Riemann .

Sendo que é necessário usar \(\sum\). A minha dúvida consiste em utilizar este processo. Ou seja:__ sendo \(f(x)=1/x^2\) e sendo \(x=1\) e \(x=2\) como encaixar \(1/x^2\) Na expressão \(\sum\limits_{i=1}^{n}f(xi).\Delta x\)
Sei que a solução é \(1/2\).

Grato pela atenção:

Amadeu

[João P. Ferreira]

O intervalo que temos é \([1,2]\) e \(f(x)=1/x^2\)

Agora vamos particionar o intervalo em intervalos cada vez mais pequenos.

Na primeira iteração \(k=1\) divide-se o intervalo em dois ficando com os pontos \(\{1, \ 3/2, \ 2\}\)
A largura \(\Delta x\) de cada intervalo nesta iteração é \(1/2\)

Na primeira iteração a soma será \(\sum=f(1)*1/2+f(3/2)*1/2\)

Depois divide o intervalo em quatro (segunda iteração, \(k=2\)), ficas com os pontos \(\{1, \ 5/4,\ 3/2,\ 7/4,\ 2\}\)

nesta segunda iteração a soma será \(\sum=f(1)*1/4+f(5/4)*1/4+f(3/2)*1/4+f(7/4)*{1/4}={1/4}(f(1)+f(5/4)+f(3/2)+f(7/4))\)

Repara então que \(\Delta x=1/2^k\)

A soma de Riemann é então \(S_k=\sum_{n=0}^k f(1+n/2^k) {1/2^k}\)

agora faz o \(k\to +\infty\) e substitui \(f(x)=1/x^2\)

Boa sorte

PS: ao contrário da figura, no cálculo que efetuamos a largura dos intervalos \(\Delta x\) é sempre igual em cada iteração

Anexos

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[amadeu]

João Ferreira.

Me dizes para fazer o \(K\) tender para \(+\infty\), mas o Integral é definido no intervalo de [1,2].
Peço-te para veres os 2 vídeos que se encontram no fim desta mensagem.(Espero que isto não seja contra as regras do fórum,visto que, serve apenas de meio elucidativo). Depois de tirares as tuas conclusões, diz-me como faço para encaixar a função \(f\left(\frac{1}{x^2}\right)\) tal como o profe julio faz para a função \(2x+1\).
Já resolvi pelo mesmo processo (Soma de Riemann) esta outra,\(\int_{-1}^{5}(3x+1)dx = 42\),mas esta funcão é idêntica à dele do género \(ax+b\) e aí tudo bem, a coisa avançou até ao final. O meu problema, é como fazer para encaixar na fórmula, como ele faz a dada altura da resolução, a minha função dada na 1ª postagem: \(\frac{1}{x^2}\).Isso pra mim é que está sendo difícil, o facto de como fazer com uma função diferente.
Seguem-se os links dos vídios.

http://www.youtube.com/watch?v=-3K_Aptk ... e=youtu.be
http://www.youtube.com/watch?v=9NR_5I9_ ... e=youtu.be

Grato:
Amadeu

[João P. Ferreira]

Caro Amadeu

Está a fazer confusão, leia atentamente o que postei acima

O aumento do \(k\) aumenta o número de intervalos, mas sempre dentro do intervalo \([1,2]\)

Quando \(k\) tende para infinito, os intervalos terão largura tão pequena, \(\Delta x \to 0\), que a Soma de Riemman aproxima-se do valor da área, ou seja do valor de \(\int_1^2 f(x)dx\)

Veja a imagem que postei que percebe

[amadeu]

Caro João Ferreira

Confesso que continuo sem entender esta parte final.

repara então que \(\Delta x=1/2^k\)

A soma de Riemann é então \(S_k=\sum_{n=0}^k f(1+n/2^k) {1/2^k}\)

agora faz o \(k\to +\infty\) e substitui \(f(x)=1/x^2\)

Será que poderia desenvolver, até se encontrar a solução final da integral que é \(1/2.\)

Grato

Amadeu

[João P. Ferreira]

Olá

Desenvolva \(\lim_{k \to +\infty}\sum_{n=0}^k f(1+n/2^k) {1/2^k}\) considerando \(f(x)=1/x^2\)

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