Integral Imprópria com função ímpar
11 ago 2013, 13:57
Resolva a seguinte integral imprópria:
\(\\\\ \int_{-\frac{pi}{3}}^{\frac{pi}{3}}tg^{3}(3x) dx\)
comecei assim:
sabendo que as descontinuidades ocorrem em -pi/6 e pi/6 :
\(\\\ \int_{-\frac{pi}{3}}^{\frac{pi}{3}}tg^{3}(3x) dx=\lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{-}}\int_{-\frac{pi}{3}}^{t}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{+}}\int_{t}^{0}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow \frac{pi}{6}^{-}}\int_{0}^{t}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow \frac{pi}{6}^{+}}\int_{t}^{\frac{pi}{3}}tg^{3}(3x)dx\)
Até aqui o desenvolvimento está correto? se não por que está incorreto?
\(\\\\ \int_{-\frac{pi}{3}}^{\frac{pi}{3}}tg^{3}(3x) dx\)
Spoiler:
comecei assim:
sabendo que as descontinuidades ocorrem em -pi/6 e pi/6 :
\(\\\ \int_{-\frac{pi}{3}}^{\frac{pi}{3}}tg^{3}(3x) dx=\lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{-}}\int_{-\frac{pi}{3}}^{t}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{+}}\int_{t}^{0}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow \frac{pi}{6}^{-}}\int_{0}^{t}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow \frac{pi}{6}^{+}}\int_{t}^{\frac{pi}{3}}tg^{3}(3x)dx\)
Até aqui o desenvolvimento está correto? se não por que está incorreto?
Re: Integral Imprópria
11 ago 2013, 18:15
Fiz assim
\(\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}tg^{3}(3x) dx =\lim_{t \to \frac{\pi}{3}^- }\int_{-t}^{t}tg^{3}(3x) dx=\)
\(=\lim_{t \to \frac{\pi}{3}^- } \left(\int_{-t}^{0}tg^{3}(3x) dx+\int_{0}^{t}tg^{3}(3x) dx\right)\)
como \(f(x)=tg^3(3x)\) é uma função ímpar \(\int_0^a f(x)dx=-\int_{-a}^0 f(x)dx \Leftrightarrow -\int_0^a f(x)dx=\int_{-a}^0 f(x)dx\)
por aqui pode ver que dá zero
\(\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}tg^{3}(3x) dx =\lim_{t \to \frac{\pi}{3}^- }\int_{-t}^{t}tg^{3}(3x) dx=\)
\(=\lim_{t \to \frac{\pi}{3}^- } \left(\int_{-t}^{0}tg^{3}(3x) dx+\int_{0}^{t}tg^{3}(3x) dx\right)\)
como \(f(x)=tg^3(3x)\) é uma função ímpar \(\int_0^a f(x)dx=-\int_{-a}^0 f(x)dx \Leftrightarrow -\int_0^a f(x)dx=\int_{-a}^0 f(x)dx\)
por aqui pode ver que dá zero
Re: Integral Imprópria com função ímpar
11 ago 2013, 20:15
João P. Ferreira Escreveu:Fiz assim
\(\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}tg^{3}(3x) dx =\lim_{t \to \frac{\pi}{3}^- }\int_{-t}^{t}tg^{3}(3x) dx=\)
\(=\lim_{t \to \frac{\pi}{3}^- } \left(\int_{-t}^{0}tg^{3}(3x) dx+\int_{0}^{t}tg^{3}(3x) dx\right)\)
como \(f(x)=tg^3(3x)\) é uma função ímpar \(\int_0^a f(x)dx=-\int_{-a}^0 f(x)dx \Leftrightarrow -\int_0^a f(x)dx=\int_{-a}^0 f(x)dx\)
por aqui pode ver que dá zero
olá amigo.tenho três dúvidas sobre a resolução.
1°) Por que vc fez o limite tendendo a pi/3? já que as descontinuidades acontecem em -pi/6 e pi/6.
2º) Se a integral imprópria for zero ,então seria convergente né?
3°) No meu desenvolvimento,vc poderia apontar algum erro?
Obrigado pela atenção.Vlw pela alteração no título.
att.
Re: Integral Imprópria com função ímpar
11 ago 2013, 22:01
Man Utd Escreveu:
olá amigo.tenho três dúvidas sobre a resolução.
1°) Por que vc fez o limite tendendo a pi/3? já que as descontinuidades acontecem em -pi/6 e pi/6.
ui amigo, fiz asneira
Tem razão, a descontinuidade é em \(x=\pi/6\)
A sua resolução parece estar certa, considere na sua resolução o facto de \(tg^3(3x)\) ser ímpar e a igualdade que lhe mostrei
Sim, se o integral dá um número finito, ele é convergente
Re: Integral Imprópria com função ímpar
12 ago 2013, 17:57
Eu fiz assim,respondendo aquela primeira integral imprópria temos que o resultado é +infinito.
\(\lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{-}}\int_{-\frac{pi}{3}}^{t}tg^{3}(3x)dx=+ \infty\)
daí eu já poderia parar,já que sabemos que vai dar divergente né?
O wolfram diz que essa integral vale zero,porém diz que é divergente.como essa integral pode ser zero se é divergente?
link do wolfram: http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... +to+pi%2F3
abraços.
att.
\(\lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{-}}\int_{-\frac{pi}{3}}^{t}tg^{3}(3x)dx=+ \infty\)
daí eu já poderia parar,já que sabemos que vai dar divergente né?
O wolfram diz que essa integral vale zero,porém diz que é divergente.como essa integral pode ser zero se é divergente?
link do wolfram: http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... +to+pi%2F3
abraços.
att.
Re: Integral Imprópria com função ímpar
12 ago 2013, 18:13
Lembre-se que \(+\infty-\infty\) é uma indeterminação logo pelo facto de um integral ter dado \(+\infty\) não significa que o integral seja divergente
Re: Integral Imprópria com função ímpar
12 ago 2013, 18:21
\(\\\ \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}tg^{3}(3x) dx=\lim_{t\rightarrow -\frac{\pi}{6}^{-}}\int_{-\frac{\pi}{3}}^{t}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow -\frac{\pi}{6}^{+}}\int_{t}^{0}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow -\frac{\pi}{6}^{-}}\int_{0}^{-t}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow \frac{\pi}{6}^{+}}\int_{t}^{\frac{\pi}{3}}tg^{3}(3x)dx=\)
\(\lim_{t\rightarrow -\frac{\pi}{6}^{-}}\int_{t}^{\frac{\pi}{3}}(-tg^{3}(3x))dx+\lim_{t\rightarrow -\frac{\pi}{6}^{+}}\int_{t}^{0}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow -\frac{\pi}{6}^{-}}\int_{t}^{0}(-tg^{3}(3x))dx+\lim_{t\rightarrow \frac{\pi}{6}^{+}}\int_{t}^{\frac{\pi}{3}}tg^{3}(3x)dx=0\)
se agora as contas não me falham
o que sucede é que a singularidade que o integral atravessa é uma singularidade não convergente. O integral dá zero, porque a função é ímpar e faz com que os dois lados da função se anulem
\(\lim_{t\rightarrow -\frac{\pi}{6}^{-}}\int_{t}^{\frac{\pi}{3}}(-tg^{3}(3x))dx+\lim_{t\rightarrow -\frac{\pi}{6}^{+}}\int_{t}^{0}tg^{3}(3x)dx+\lim_{t\rightarrow -\frac{\pi}{6}^{-}}\int_{t}^{0}(-tg^{3}(3x))dx+\lim_{t\rightarrow \frac{\pi}{6}^{+}}\int_{t}^{\frac{\pi}{3}}tg^{3}(3x)dx=0\)
se agora as contas não me falham
o que sucede é que a singularidade que o integral atravessa é uma singularidade não convergente. O integral dá zero, porque a função é ímpar e faz com que os dois lados da função se anulem
Re: Integral Imprópria com função ímpar
12 ago 2013, 18:59
\(\\\\ \lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{-}}\int_{-\frac{pi}{3}}^{t}tg^{3}(3x)dx=+\infty \\\\ \lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{+}}\int_{t}^{0}tg^{3}(3x)dx=+\infty \\\\ \lim_{t\rightarrow \frac{pi}{6}^{-}}\int_{0}^{t}tg^{3}(3x)dx=+\infty \\\\ \lim_{t\rightarrow \frac{pi}{6}^{+}}\int_{t}^{\frac{pi}{3}}tg^{3}(3x)dx=+\infty\)
olá amigo obrigado pela paciência,eu obtive +infinito em todas as integrais impróprias(ao menos que eu tenha errado em contas).
por que na sua resposta zero(valor númerico) é divergente? (eu entendo que deu zero porque a função é impar num intervalo simétrico) Mas divergente não seria +ou-infinito?
att
olá amigo obrigado pela paciência,eu obtive +infinito em todas as integrais impróprias(ao menos que eu tenha errado em contas).
por que na sua resposta zero(valor númerico) é divergente? (eu entendo que deu zero porque a função é impar num intervalo simétrico) Mas divergente não seria +ou-infinito?
att
Re: Integral Imprópria com função ímpar
12 ago 2013, 20:59
Pense neste integral, o problema é semelhante mas mais fácil de analisar
\(\int_{-1}^1 \frac{1}{x} dx=\lim_{t\to 0^-}\int_{-1}^t \frac{1}{x} dx+\lim_{t\to 0^+}\int_{t}^1 \frac{1}{x} dx=\)
\(=\lim_{t\to 0^-}\int_{-t}^1 (-\frac{1}{x}) dx+\lim_{t\to 0^+}\int_{t}^1 \frac{1}{x} dx=\)
\(=\lim_{t\to 0^-}[-ln|x|]_{-t}^1 +\lim_{t\to 0^+}[ln|x|]_t^1=\)
\(=\lim_{t\to 0^-}ln|-t|-\lim_{t\to 0^+}ln|t|=\)
fazendo uma mudança de variável no primeiro integral \(t\to -t\)
\(=\lim_{t\to 0^+}ln|t|-\lim_{t\to 0^+}ln|t|=\lim_{t\to 0^+}(ln|t|-ln|t|)=0\)
agora, há aqui uma contradição, mas confesso que não sei resolvê-la.
Terá a ver com o facto de o intervalo de integração, passar por uma singularidade não integrável, presumo, tal como acontece com o seu problema
\(\int_{-1}^1 \frac{1}{x} dx=\lim_{t\to 0^-}\int_{-1}^t \frac{1}{x} dx+\lim_{t\to 0^+}\int_{t}^1 \frac{1}{x} dx=\)
\(=\lim_{t\to 0^-}\int_{-t}^1 (-\frac{1}{x}) dx+\lim_{t\to 0^+}\int_{t}^1 \frac{1}{x} dx=\)
\(=\lim_{t\to 0^-}[-ln|x|]_{-t}^1 +\lim_{t\to 0^+}[ln|x|]_t^1=\)
\(=\lim_{t\to 0^-}ln|-t|-\lim_{t\to 0^+}ln|t|=\)
fazendo uma mudança de variável no primeiro integral \(t\to -t\)
\(=\lim_{t\to 0^+}ln|t|-\lim_{t\to 0^+}ln|t|=\lim_{t\to 0^+}(ln|t|-ln|t|)=0\)
agora, há aqui uma contradição, mas confesso que não sei resolvê-la.
Terá a ver com o facto de o intervalo de integração, passar por uma singularidade não integrável, presumo, tal como acontece com o seu problema
Re: Integral Imprópria com função ímpar
12 ago 2013, 21:31
Isso é interessante.Só acontece em funções ímpares em intervalos simétricos? e eu não posso deixar minha resposta assim?
já que também cheguei a conclusão que é divergente.
att,obrigado pela ótima explanação.
Man Utd Escreveu:\(\\\\ \lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{-}}\int_{-\frac{pi}{3}}^{t}tg^{3}(3x)dx=+\infty \\\\ \lim_{t\rightarrow -\frac{pi}{6}^{+}}\int_{t}^{0}tg^{3}(3x)dx=+\infty \\\\ \lim_{t\rightarrow \frac{pi}{6}^{-}}\int_{0}^{t}tg^{3}(3x)dx=+\infty \\\\ \lim_{t\rightarrow \frac{pi}{6}^{+}}\int_{t}^{\frac{pi}{3}}tg^{3}(3x)dx=+\infty\)
já que também cheguei a conclusão que é divergente.
att,obrigado pela ótima explanação.