Determine a inclinação da reta

[vinipro7]

Determine a inclinação da reta que passa pela origem e divide a região
limitada pela parábola \(y= x - x^2\)e o eixo x em duas regiões de áreas iguais

[Fraol]

Boa noite,

(reeditado para corrigir)

Como a reta da qual se quer a inclinação passa pela raiz, então sua equação reduzida é dada por uma função \(g(x) = m \cdot x\) ondem \(m\) é o coeficiente angular ou a inclinação pedida.

A função \(f(x) = x - x^2\) representa uma parábola com raízes 0 e 1. então a região delimitada conforme o enunciado vai de 0 até 1.

A integral de f(x) no intervalo [0,1]: \(\int_{0}^{1} x-x^2 dx = \frac{1}{6}\)

Portanto a metade dessa área é igual a \(\frac{1}{12}\)

Por outro lado, as curvas de f(x) e g(x) se cruzam quando f(x)=g(x) e isso ocorre para \(x = 1 -m\) :

Então podemos calcular o m, inclinação da reta pela seguinte igualdade:

\(\int_{0}^{1-m} (mx) dx + \int_{1-m}^{1} (x-x^2) dx = \frac{1}{12}\)

Ou seja, calculamos a área sob a reta até ela cruzar com a parábola, somamos com a área sob a parábola desse ponto até x=1 e igualamos à metade da área da parábola toda.

Fazendo algumas contas, se não errei-as, você chegará a \(m = \frac{2-\sqrt[3]{4}}{2}\) . Então a inclinação é de aproximadamente 0,206 = 20,6 % ou, então a inclinação é \(arctg(\frac{2-\sqrt[3]{4}}{2})\)
.

[Mauro]

Boa noite,

(reeditado para corrigir)

Como a reta da qual se quer a inclinação passa pela raiz, então sua equação reduzida é dada por uma função \(g(x) = m \cdot x\) ondem \(m\) é o coeficiente angular ou a inclinação pedida.

A função \(f(x) = x - x^2\) representa uma parábola com raízes 0 e 1. então a região delimitada conforme o enunciado vai de 0 até 1.

A integral de f(x) no intervalo [0,1]: \(\int_{0}^{1} x-x^2 dx = \frac{1}{6}\)

Portanto a metade dessa área é igual a \(\frac{1}{12}\)

Por outro lado, as curvas de f(x) e g(x) se cruzam quando f(x)=g(x) e isso ocorre para \(x = 1 -m\) :

Então podemos calcular o m, inclinação da reta pela seguinte igualdade:

\(\int_{0}^{1-m} (mx) dx + \int_{1-m}^{1} (x-x^2) dx = \frac{1}{12}\)

Ou seja, calculamos a área sob a reta até ela cruzar com a parábola, somamos com a área sob a parábola desse ponto até x=1 e igualamos à metade da área da parábola toda.

Fazendo algumas contas, se não errei-as, você chegará a \(m = \frac{2-\sqrt[3]{4}}{2}\) . Então a inclinação é de aproximadamente 0,206 = 20,6 % ou, então a inclinação é \(arctg(\frac{2-\sqrt[3]{4}}{2})\)
.

Caro Fraol, tentei resolver esta questão, mas não consegui.

Também não consegui, a partir de sua exposição, compreender como se chega a 'm', pois a soma das áreas não me ajudou a ver o todo.
Mas, mesmo assim, se puder desenvolver a parte bruta, a partir da qual o 'm' fica elucidado agradeceria. Eu não saberia fazê-lo e gostaria muitíssimo de aprender.

Voltando à minha ideia original antes de ver sua resolução, imaginara fazer a área da parábola ser 1/12 e fazer de algum jeito uma 'engenharia reversa' na integral (coisa que também não saberia fazer) a fim de se saber qual seria o ponto 'n' sobre o eixo dos 'x' em que esta metade da área se desse.

Sabendo esse ponto 'n' também poderíamos saber o valor da ordenada correspondente, que seria a mesma da reta divisora.

Sabendo 'n', e 'f(n)' e em comparação com '0' e 'f(0)' poderíamos calcular o 'm' a partir dali.
Isto é, 'dispensaria' o cálculo da soma das áreas, se fosse possível tal reversão.

Como dito, como não sei fazer nada com nada, pergunto se meu raciocínio abstrato pelo menos está correto.

Um abração,
Mauro

[Fraol]

Bom dia Mauro,

Engenharia reversa, muitas vezes é um bom ponto de partida para encontrar o caminho para uma solução, isso quando já sabemos qual é e esse é o nosso caso pois sabemos que a área acima ou abaixo da reta é 1/12 u.a.

Na minha primeira solução acima eu calculei a área abaixo da reta, na verdade a área de um triângulo mais a área de um pequeno trecho da parábola, anexo uma figura:

parab1.png (7.02 KiB) Visualizado 4124 vezes

Agora vou calcular pela parte acima da reta que, talvez, fique mais fácil de compreender.

Na figura \(x' = 1 - m\) é o ponto de cruzamento das curvas, o ponto G ( êpa, isso ficou com duplo sentido! ). Então devemos calcular a área do trecho da parábola acima da reta no intervalo de 0 até 1-m e igualar a 1/12:

\(\int_{0}^{1-m} x-x^2 - (mx) dx = \left [ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{mx}{2} \right ]_0^{1-m} = \frac{1}{12}\)

Isso é igual a: \(\frac{(1-m)^2}{2} - \frac{(1-m)^3}{3} - \frac{m(1-m)}{2} = \frac{1}{12}\)

Com algum algebrismo você chega em \((1-m)^3 = \frac{1}{2}\).

A raiz real dessa cúbica pode ser encontrada elevando-se ambos os membros a 1/3:

\((1-m)^3)^{\frac{1}{3}} = \left( {\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{3}} \Leftrightarrow m = 1 - \frac{1}{2^{\frac{1}{3}}} \Leftrightarrow m = \frac{2 - 2^{\frac{2}{3}}}{2}\) que é o mesmo resultado da outra solução.

[Mauro]

Bom dia Mauro,

Engenharia reversa, muitas vezes é um bom ponto de partida para encontrar o caminho para uma solução, isso quando já sabemos qual é e esse é o nosso caso pois sabemos que a área acima ou abaixo da reta é 1/12 u.a.

Na minha primeira solução acima eu calculei a área abaixo da reta, na verdade a área de um triângulo mais a área de um pequeno trecho da parábola, anexo uma figura:

parab1.png

Agora vou calcular pela parte acima da reta que, talvez, fique mais fácil de compreender.

Na figura \(x' = 1 - m\) é o ponto de cruzamento das curvas, o ponto G ( êpa, isso ficou com duplo sentido! ). Então devemos calcular a área do trecho da parábola acima da reta no intervalo de 0 até 1-m e igualar a 1/12:

\(\int_{0}^{1-m} x-x^2 - (mx) dx = \left [ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{mx}{2} \right ]_0^{1-m} = \frac{1}{12}\)

Isso é igual a: \(\frac{(1-m)^2}{2} - \frac{(1-m)^3}{3} - \frac{m(1-m)}{2} = \frac{1}{12}\)

Com algum algebrismo você chega em \((1-m)^3 = \frac{1}{2}\).

A raiz real dessa cúbica pode ser encontrada elevando-se ambos os membros a 1/3:

\((1-m)^3)^{\frac{1}{3}} = \left( {\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{3}} \Leftrightarrow m = 1 - \frac{1}{2^{\frac{1}{3}}} \Leftrightarrow m = \frac{2 - 2^{\frac{2}{3}}}{2}\) que é o mesmo resultado da outra solução.

Caro Fraol, explicação mais límpida impossível. Nos focando apenas na parte superior da curva me facilitou bastante. Muito obrigado.

Entretanto, não abusando de sua sempre e grande boa vontade, poderia me ajudar num particular citado acima?

Por que uma das parcelas do cálculo gerou

\(\int_{0}^{1-m} (mx) dx=\frac{mx}{2}\)

?

Se eu tivesse feito, acharia que 'x' teria o expoente 1 e, somando-se 1 pela regra de integração, deveria ser

\(\int_{0}^{1-m^} (mx) dx = \frac{mx^2}{2}\).

Já vejo que devo estar cometendo algum engano primário. Poderia me ajudar mais nisto?

Gratíssimo, abração,
Mauro

[Fraol]

Oi Mauro,

Obrigado pela observação, você está certo. Olhando para a minha resolução, e como não rascunhei, fui digitando diretamente, tudo me leva a crer que cometi um erro de digitação e depois de CTRL-C/CTRL-V e peço desculpas a você e aos demais.

Abraços.

[Mauro]

Oi Mauro,

Obrigado pela observação, você está certo. Olhando para a minha resolução, e como não rascunhei, fui digitando diretamente, tudo me leva a crer que cometi um erro de digitação e depois de CTRL-C/CTRL-V e peço desculpas a você e aos demais.

Abraços.

Caro Fraol, que desculpa que nada. Você só ajuda.
E é bom que acompanhemos até os equívocos de quem ajuda, a fim de que possamos valorizar o ensinamento, pois não ficamos tão-somente a copiar como fazem os 'pseudo espertos'.
Acompanhar detidamente as explicações e até mesmo contestar é uma forma de respeito a quem se dispõe a ajudar.

Muito obrigado novamente, abração,
Mauro