integral indefinida por substituição

[JONATAScastilhos]

∫√ (x+3)/x-1

[Davi Constant]

Bom, não sei se entendi o que você escreveu... se for:

\(\LARGE \int\frac{\sqrt{x+3}}{x-1}dx\)

Vamos fazer a seguinte substituição:\(\LARGE u=\sqrt{x+3}\Rightarrow du= \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x+3}}dx\Rightarrow dx=2\sqrt{x+3}du\)

Lembrando que:

\(\LARGE x+3=u^2;x-1=u^2-4;\int\frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2\cdot a}\cdot ln\left | \frac{u-a}{u+a} \right |+C\)

Dessa forma a integral pode ser reescrita como:

\(\Large \int\frac{\sqrt{x+3}}{x-1}\cdot 2\sqrt{x+3}du=2\int\frac{x+3}{x-1}du=2\int\frac{u^2}{u^2-4}du=2\int\frac{u^2-4+4}{u^2-4}du=2\int1+\frac{4}{u^2-4}du=2u+8\int\frac{du}{u^2-2^2}=2u+8\cdot\frac{1}{2\cdot2}\cdot ln\left | \frac{u-2}{u+2} \right |+C=2u+2 ln\left | \frac{u-2}{u+2} \right |+C\)

Retornando para a variável x, temos:

\(\LARGE \int\frac{\sqrt{x+3}}{x-1}dx =2\sqrt{x+3}+2 ln\left | \frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x+3}+2} \right |+C.\)


Espero ter ajudado,
mas se não for essa integral, por favor sinalize.