Resolver ∫√(x⁴+x²)dx

[henrique_ep]

Em uma calculadora de integral da internet, o 1º passo foi simplificar √(x⁴+x²) para x√(1+x²) e depois substituir 1+x² por u, porém eu não entendi essa simplificação.

espero ajuda...

[Davi Constant]

Bom, vamos lá...Para x positivo temos...

\(\LARGE \int\sqrt{x^4+x^2}dx=\int\sqrt{x^2(x^2+1)}dx=\int x\sqrt{x^2+1}dx\)

Fazemos, então, \(\LARGE x^2+1=u\Rightarrow 2xdx=du\)

Podemos reescrever a integral como:

\(\LARGE \int\frac{1}{2}\sqrt{u}du=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot u^{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{3}\cdot \left ( x^2+1 \right )^{\frac{3}{2}}+C.\)

Para x negativo, apenas troca o sinal ...

\(\LARGE -\frac{1}{3}\cdot \left ( x^2+1 \right )^{\frac{3}{2}}+C.\)

Espero ter ajudado,
qualquer dúvida, só sinalizar.

[henrique_ep]

valeu cara, era só essa questao mesmo da evidencia pra tirar da raiz e substituir por u...

valeu!!