Integral - Substituição Trigonométrica (Por Seno)

[raimundojr]

Utilizando a seguinte substituição trigonométrica \(y=4sen \theta\) mostre que o resultado de \(\int\limits_{}^{}y^3sqrt(16-y^2)dy\) é igual a \(\frac{-(3y^2+32)sqrt((16-y^2)^3)}{15}\) acrescido de uma constante real.

[João P. Ferreira]

Repare que com a substituição \(y=4sen \theta\) esta expressão \(\sqrt{16-y^2}=\sqrt{16-(4sen \theta)^2}=\sqrt{16-16.sen^2 \theta}=\sqrt{16(1-sen^2 \theta)}=4\cos \theta\)

lembre-se que \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta=1\) o que implica que \(\cos \theta =\sqrt{1-\sin^2 \theta}\)

lembre-se ainda que \(\frac{dy}{d\theta}=4 cos\theta\) logo \(dy=4 cos\theta d\theta\)

caso ainda tenha dúvidas diga...

Abraços

[raimundojr]

Pelo que foi mencionado, consegui chegar até aqui:
\(\int y^3\sqrt{16-y^2}dy=\int (4sen\theta)^3\sqrt{16}\sqrt{1-sen^2\theta}(4cos\theta d\theta)=\int 2^{10}sen^3\theta cos^2\theta d\theta\)
Qual é o próximo passo?

[João P. Ferreira]

Apenas uma ideia, tente

usar a regra da integral da potência \(\int u' u^n dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}\)

apenas outra ideia, repare ainda que sabendo

\(sen(2\theta)=2 cos(\theta) sen(\theta)\)

tem-se
\(\int 2^{10}sen^3\theta cos^2\theta d\theta=\int 2^{8}sen\theta sen^2(2\theta) d\theta\)

sabendo ainda que \(\sin^2\theta=\frac{1-cos(2\theta)}{2}\)


fica-se com \(\int 2^{8}sen\theta sen^2(2\theta) d\theta=\int 2^{7}sen\theta (1-cos(4\theta)) d\theta\)

veja mais aqui
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_t ... on_formula

continue...

[Davi Constant]

Bom, para \(\large x=4sin\theta\rightarrow dx=4cos\theta d\theta\)

Podemos, então, reescrever a integral como \(\large 4^5\int sin^3\theta cos^2\theta d\theta=4^5\int sin\theta(1-cos^2\theta)cos^2\theta d\theta=4^5 \int (cos^2\theta-cos^4\theta)sin\theta d\theta\)

Fazemos \(\large cos\theta=u\rightarrow du=-sin\theta d\theta\)

Daí vem que: \(\large 4^5\int u^4-u^2du=\frac{4^5}{5}u^5-\frac{4^5}{3}u^3+C=\frac{4^5}{5}cos^5\theta-\frac{4^5}{3}cos^3\theta+C=\frac{4^5}{5}\left ( \frac{\sqrt{16-x^2}}{4} \right )^5-\frac{4^5}{3}\left ( \frac{\sqrt{16-x^2}}{4} \right )^3+C=\)

que é algebricamente igual a \(\large -\frac{(3x^2+32)\cdot \sqrt{(16-x^2)^3}}{15}+C\)

Espero ter ajudado,
qualquer dúvida, sinalize.

[João P. Ferreira]

Brutal, excelente solução caro Davi Constant

Não chegava lá tão cedo, parabéns

Um abraço