Integral da sec(x) dx usando tg(x/2)=Z
08 mai 2012, 04:37
quero saber como se faz a integral de sec(x)dx utilizando o metodo de funções racionais de seno e cosseno.
aquele método no qual se substitui Z=tg(x/2) cos(x)=(1-z²)/(1+z²) e sen(x)=2Z/1+Z²
Obrigado.
aquele método no qual se substitui Z=tg(x/2) cos(x)=(1-z²)/(1+z²) e sen(x)=2Z/1+Z²
Obrigado.
Re: Integral da sec(x) dx usando tg(x/2)=Z
08 mai 2012, 15:13
Ora então meu caro
\(\int sec x dx= \int \frac{1}{cos x}dx\)
Nesta técnica de substituição tem-se:
\(z=tg\left(\frac{x}{2}\right)\)
\(\frac{dx}{dz}=\frac{2}{1+z^2}\)
\(cos x=\frac{1-z^2}{1+z^2}\)
Assim:
\(\int \frac{1}{cos x}dx=\int \frac{1}{\frac{1-z^2}{1+z^2}}\frac{2}{1+z^2}dz=2\int \frac{1}{1-z^2}dz=2\int \frac{1}{(1-z)(1+z)}dz=2\int \left( \frac{1/2}{z+1}-\frac{1/2}{z-1}\right)dz=\)
\(= ln\left(\frac{z+1}{z-1}\right)+C= ln\left(\frac{tg\left(\frac{x}{2}\right)+1}{tg\left(\frac{x}{2}\right)-1}\right)+C\)
Não garanto que os cálculos estejam certos mas o caminho é este...
Saudações
Volte sempre
\(\int sec x dx= \int \frac{1}{cos x}dx\)
Nesta técnica de substituição tem-se:
\(z=tg\left(\frac{x}{2}\right)\)
\(\frac{dx}{dz}=\frac{2}{1+z^2}\)
\(cos x=\frac{1-z^2}{1+z^2}\)
Assim:
\(\int \frac{1}{cos x}dx=\int \frac{1}{\frac{1-z^2}{1+z^2}}\frac{2}{1+z^2}dz=2\int \frac{1}{1-z^2}dz=2\int \frac{1}{(1-z)(1+z)}dz=2\int \left( \frac{1/2}{z+1}-\frac{1/2}{z-1}\right)dz=\)
\(= ln\left(\frac{z+1}{z-1}\right)+C= ln\left(\frac{tg\left(\frac{x}{2}\right)+1}{tg\left(\frac{x}{2}\right)-1}\right)+C\)
Não garanto que os cálculos estejam certos mas o caminho é este...
Saudações
Volte sempre
Re: Integral da sec(x) dx usando tg(x/2)=Z
08 mai 2012, 15:25
Re: Integral da sec(x) dx usando tg(x/2)=Z
08 mai 2012, 19:27
sim, até ai eu fiz, parei em ln l(1+cosx+senx)/(1+cosx-senx)l
se igualar isso á ln lsecx+tgxl prova-se que é verdadeiro, mas como chegar em ln l secx+tgx l sómente desdobrando a formula?
se igualar isso á ln lsecx+tgxl prova-se que é verdadeiro, mas como chegar em ln l secx+tgx l sómente desdobrando a formula?
Re: Integral da sec(x) dx usando tg(x/2)=Z
08 mai 2012, 20:00
Não percebo o que pretende
O resultado final é:
\(ln\left(\frac{tg\left(\frac{x}{2}\right)+1}{tg\left(\frac{x}{2}\right)-1}\right)+C\)
Pode no entanto ser apresentado com outras funções trigonométricas, mas este resultado final está correto...
O resultado final é:
\(ln\left(\frac{tg\left(\frac{x}{2}\right)+1}{tg\left(\frac{x}{2}\right)-1}\right)+C\)
Pode no entanto ser apresentado com outras funções trigonométricas, mas este resultado final está correto...
Re: Integral da sec(x) dx usando tg(x/2)=Z
09 mai 2012, 02:18
como chegar trigonométricamente apartir dai em .. ln l sec(x) + tg(x) l
Re: Integral da sec(x) dx usando tg(x/2)=Z
09 mai 2012, 11:26
Ora então...
Lembre-se que a mesma função, tem várias primitivas (a constante C)
Assim temos:
\(ln\left|\frac{tg(\frac{x}{2})+1}{tg(\frac{x}{2})+1}\right|+C\)
Lembre-se que:
\(tg(\frac{x}{2})=\frac{sen x}{1+cos x}\)
Assim:
\(ln\left|\frac{tg(\frac{x}{2})+1}{tg(\frac{x}{2})+1}\right|+C=ln\left|\frac{\frac{sen x}{1+cos x}+1}{\frac{sen x}{1+cos x}+1}\right|+C=ln\left|\frac{sen x + cos x +1}{sen x - cos x -1}\right|+C=\)
Dividindo o numerador e o denominador da fração por \(cos x\)
\(=ln\left|\frac{tg x + sec x +1}{tg x - sec x -1}\right|+C=ln\left|\frac{tg x + sec x}{tg x + sec x}\times\frac{tg x + sec x +1}{tg x - sec x -1}\right|+C=ln\left|(tg x + sec x)\times\frac{tg x + sec x +1}{(tg x + sec x)(tg x - sec x -1)}\right|+C=\)
\(=ln\left|(tg x + sec x)\times\frac{tg x + sec x +1}{tg^2x-sec^2x-(tg x + sec x)}\right|+C=\)
Lembre-se da igualdade trigonométrica
\(tg^2x+1=sec^2x\)
Assim, continuando:
\(=ln\left|(tg x + sec x)\times(-1)\right|+C=ln\left|(tg x + sec x)\right|+ln|-1|+C=ln\left|tg x + sec x\right|+C\)
c.q.d.
Saudações
Lembre-se que a mesma função, tem várias primitivas (a constante C)
Assim temos:
\(ln\left|\frac{tg(\frac{x}{2})+1}{tg(\frac{x}{2})+1}\right|+C\)
Lembre-se que:
\(tg(\frac{x}{2})=\frac{sen x}{1+cos x}\)
Assim:
\(ln\left|\frac{tg(\frac{x}{2})+1}{tg(\frac{x}{2})+1}\right|+C=ln\left|\frac{\frac{sen x}{1+cos x}+1}{\frac{sen x}{1+cos x}+1}\right|+C=ln\left|\frac{sen x + cos x +1}{sen x - cos x -1}\right|+C=\)
Dividindo o numerador e o denominador da fração por \(cos x\)
\(=ln\left|\frac{tg x + sec x +1}{tg x - sec x -1}\right|+C=ln\left|\frac{tg x + sec x}{tg x + sec x}\times\frac{tg x + sec x +1}{tg x - sec x -1}\right|+C=ln\left|(tg x + sec x)\times\frac{tg x + sec x +1}{(tg x + sec x)(tg x - sec x -1)}\right|+C=\)
\(=ln\left|(tg x + sec x)\times\frac{tg x + sec x +1}{tg^2x-sec^2x-(tg x + sec x)}\right|+C=\)
Lembre-se da igualdade trigonométrica
\(tg^2x+1=sec^2x\)
Assim, continuando:
\(=ln\left|(tg x + sec x)\times(-1)\right|+C=ln\left|(tg x + sec x)\right|+ln|-1|+C=ln\left|tg x + sec x\right|+C\)
c.q.d.
Saudações
Re: Integral da sec(x) dx usando tg(x/2)=Z
18 mai 2012, 15:32
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