Primitiva por substituição (com x=sec(t))

[emsbp]

Boa tarde.
É pedido para calcular \(\int \frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}dx\), por substituição de x=sec(t).
Ora, segundo os meus cálculos e tendo em conta que se x= sec(t), dx=tg(t)sec(t) e t=arc cos(1/x), o integral será igual a \(arc cos (\frac{1}{x}) + c\).
No entanto, é apresentado como resultado, no manual onde retirei o exercício, \(-arctg(cotg(arccos (x))+c\).
Como chegar ao resultado indicado?
Obrigado!

[danjr5]

Acho que sua resposta está correta!
Fiz assim:
Desenhei um triângulo retângulo de hipotenusa x, cateto oposto a \(\theta\) valendo \(\sqrt{x^2 - 1}\) e adjacente 1.
Com isso,
\(cos\theta = \frac{1}{x}\) ======> \(x = \frac{1}{cos\theta}\) ======> \(dx = \frac{sen\theta }{cos^2\theta}d\theta\)

\(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} . \frac{1}{x}dx =\)

\(\int \frac{1}{\sqrt{\frac{sen^2\theta }{cos^2\theta }}} . cos\theta .\frac{sen\theta }{cos^2\theta }d\theta =\)

\(\int \frac{cos\theta }{sen\theta} . cos\theta .\frac{sen\theta }{cos^2\theta }d\theta =\)

\(\int 1 =\)

\(\left [ \theta \right ]=\)

\(\left [ arc cos (\frac{1}{x}) \right ]=\)

\(arc cos (\frac{1}{x}) + C\)