Integral de sen(sqrt(x))dx
29 ago 2011, 22:44
Olá!
Alguém poderia me ajudar a calcular
\(\int \text sen \sqrt x dx\)
Estou tentando resolver um exercício no livro de james stewart (exercício 27, capítulo 7.1). É pedido para aplicar primeiro uma substituição e depois aplicar integração por partes.
Já fiz algumas tentativas e chego em
\(-\sqrt{x} \text{cos} \sqrt{x} + \text{sen} \sqrt{x}\)
quando o resultado deveria ser
\(2(-\sqrt{x} \text{cos} \sqrt{x} + \text{sen} \sqrt{x})\)
Obrigado.
Alguém poderia me ajudar a calcular
\(\int \text sen \sqrt x dx\)
Estou tentando resolver um exercício no livro de james stewart (exercício 27, capítulo 7.1). É pedido para aplicar primeiro uma substituição e depois aplicar integração por partes.
Já fiz algumas tentativas e chego em
\(-\sqrt{x} \text{cos} \sqrt{x} + \text{sen} \sqrt{x}\)
quando o resultado deveria ser
\(2(-\sqrt{x} \text{cos} \sqrt{x} + \text{sen} \sqrt{x})\)
Obrigado.
Re: Integral de sen(sqrt(x))dx
30 ago 2011, 01:05
Meu caro
Respondo-lhe a essa questão com todo o gosto
O que quer calcular é a seguinte primitiva:
\(P sen{\sqrt{x}}\)
Façamos a seguinte substituição: \(\sqrt{x}=t\)
Temos então que:
\(x=t^2 \ \ \frac{dx}{dt}=2t\)
Substituindo ficamos então com:
\(P sen{\sqrt{x}} = P sen{(t)}2t\)
Aplicamos agora a primitivação por partes
\(u'=sen{t} \ \ u=-cos{t} \\
v=2t \ \ v'=2\)
\(P sen{(t)}2t = -cos(t)2t-P2(-cos(t))= -cos(t)2t+2Pcos(t)=\\
=-cos(t)2t+2.sen(t) + C = 2 (-t.cos(t)+sen(t)) + C\)
fazendo agora a substituição inicial \(t=\sqrt{x}\)
\(=2(-\sqrt{x}.cos{\sqrt{x}}+sen{\sqrt{x}}) + C\)
Volta sempre meu caro
Respondo-lhe a essa questão com todo o gosto
O que quer calcular é a seguinte primitiva:
\(P sen{\sqrt{x}}\)
Façamos a seguinte substituição: \(\sqrt{x}=t\)
Temos então que:
\(x=t^2 \ \ \frac{dx}{dt}=2t\)
Substituindo ficamos então com:
\(P sen{\sqrt{x}} = P sen{(t)}2t\)
Aplicamos agora a primitivação por partes
\(u'=sen{t} \ \ u=-cos{t} \\
v=2t \ \ v'=2\)
\(P sen{(t)}2t = -cos(t)2t-P2(-cos(t))= -cos(t)2t+2Pcos(t)=\\
=-cos(t)2t+2.sen(t) + C = 2 (-t.cos(t)+sen(t)) + C\)
fazendo agora a substituição inicial \(t=\sqrt{x}\)
\(=2(-\sqrt{x}.cos{\sqrt{x}}+sen{\sqrt{x}}) + C\)
Volta sempre meu caro
Re: Integral de sen(sqrt(x))dx
30 ago 2011, 01:17
Muito obrigado pela resposta mas ainda me restou uma dúvida
Eu praticamente a mesma coisa entretanto retirei o multiplicador 2 da variável t para fora da integral... assim:
\(\int 2t \text{sen}t dt = 2 \int t \text{sen} dt\)
e continuei integrando por partes...
é errado retirar o 2 para fora da integral ao fazer isso? se sim, porque? dado que a
\(\int a f(x) dx = a \int f(x)\)
Muito obrigado
Eu praticamente a mesma coisa entretanto retirei o multiplicador 2 da variável t para fora da integral... assim:
\(\int 2t \text{sen}t dt = 2 \int t \text{sen} dt\)
e continuei integrando por partes...
é errado retirar o 2 para fora da integral ao fazer isso? se sim, porque? dado que a
\(\int a f(x) dx = a \int f(x)\)
Muito obrigado
Re: Integral de sen(sqrt(x))dx
30 ago 2011, 10:46
Não é errado tirar o 2.
Pode fazer com o 2 fora ou dentro do integral. É indiferente
\(\int{af(x)}dx=a\int{f(x)}dx\)
Resolvendo o que pretende por partes temos:
\(2\int{t.sen(t)}dt=2(-cos(t).t-\int{(-cos(t))}dt)=\\
=2(-cos(t).t+\int{cos(t)}dt)=\\
=2(-cos(t).t+sen(t))\)
Fazendo \(t=\sqrt{x}\) tem o resultado que pretende
Saudações matemáticas
Pode fazer com o 2 fora ou dentro do integral. É indiferente
\(\int{af(x)}dx=a\int{f(x)}dx\)
Resolvendo o que pretende por partes temos:
\(2\int{t.sen(t)}dt=2(-cos(t).t-\int{(-cos(t))}dt)=\\
=2(-cos(t).t+\int{cos(t)}dt)=\\
=2(-cos(t).t+sen(t))\)
Fazendo \(t=\sqrt{x}\) tem o resultado que pretende
Saudações matemáticas