Integrais impróprias

[mat]

Verifique se a integral indo de 1 a infinito de 1/ (x²-0,1)^1/2 dx converge ou não
Desde já, Obrigada!

[Man Utd]

Verifique se a integral indo de 1 a infinito de 1/ (x²-0,1)^1/2 dx converge ou não
Desde já, Obrigada!

olá

\(\\\\\\ \int_{1}^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{x^{2}-0,1}}dx=\lim_{p\rightarrow +\infty }\int_{1}^{p}\frac{1}{\sqrt{x^{2}-0,1}}dx\)

para integrar \(\frac{1}{\sqrt{x^{2}-0,1}}\) , utilize a substituição trigonométrica \(sec\theta=\frac{x}{\sqrt{0,1}}\) , feito isso obterá como resposta: \(ln|\frac{x}{\sqrt{0,1}}+\sqrt{\frac{x}{\sqrt{0,1}}-1}|\)

continuando:

\(\\\\\\ \int_{1}^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{x^{2}-0,1}}dx=\lim_{p\rightarrow +\infty }ln|\frac{p}{\sqrt{0,1}}+\sqrt{\frac{p}{\sqrt{0,1}}-1}|-ln|\frac{1}{\sqrt{0,1}}+\sqrt{\frac{1}{\sqrt{0,1}}-1}|\)

perceba agora que \(\lim_{p\rightarrow +\infty }ln|\frac{p}{\sqrt{0,1}}+\sqrt{\frac{p}{\sqrt{0,1}}-1}=+\infty\) , então :

\(\\\\\\ \int_{1}^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{x^{2}-0,1}}dx=+\infty-ln|\frac{1}{\sqrt{0,1}}+\sqrt{\frac{1}{\sqrt{0,1}}-1}| \\\\\\ \int_{1}^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{x^{2}-0,1}}dx=+\infty\)

espero que seja isso,qualquer dúvida retorne.

att