Resolver ∫1/x√(x²-1)

[JDuarte]

Boas noites, não estou a conseguir obter a expressão que me fornecem nas soluções, deixo desde já um muito obrigado (exercício do livro de Carlos Sarrico).

Utilize o método da mudança de variável, ou outro, para obter a primitiva da função em intervalos a determinar.

∫1/x√(x²-1)

Cumprimentos.

[Man Utd]

Olá

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Seria isto \(\int \; \frac{1}{x* \sqrt{x^2-1}} dx\) ?


se for terá que usar substituição trigonométrica : \(x=sec \theta \;\; \rightarrow \;\; dx=sec\theta*tg\theta \; d\theta\)


\(\int \; \frac{sec\theta*tg\theta }{sec\theta*\sqrt{sec^2\theta-1}} \; d\theta\)


\(\int \; \frac{sec\theta*tg\theta }{sec\theta*tg\theta} \; d\theta\)


\(\int \; 1 \; d\theta= \theta +C \; \rightarrow \; arc \; sec x +C\)


perceba que na última linha tivermos que voltar a variável inicial "x", para isso utilizamos o fato que : \(x=sec \theta \;\; \rightarrow \;\; \theta=arc \; sec x\)

[JDuarte]

Obrigado, já entendi

Parece-me que o difícil para mim é encontrar a substituição adequada, o que advém daí são meros cálculos. Há alguma maneira de saber qual é a substituição? Há umas pouco evidentes...

[Man Utd]

A substituição trigonométrica pode ser usado em três casos ,todos envolvendo raízes :


\(\sqrt{x^2-1}\) , utilize a substiuição : \(x=sec\theta \;\; \Rightarrow \;\; dx=sec\theta *tg\theta \; d\theta\)


\(\sqrt{x^2+1}\) , utilize a substituição : \(x=tg\theta \;\; \Rightarrow \;\; dx=sec^{2} \theta \; d\theta\)


\(\sqrt{1-x^2}\) , utilize a substituiçaõ : \(x=sen \theta \;\; \Rightarrow \;\; dx=cos\theta \; d\theta\)


Em geral para ter a noção de que tipo de susbtituição utilizar , é preciso reolver vários exercícios,logo verá que não é dificil.


att