Primitiva de arctgx

[saramatos]

Boa tarde


Considere a função h definida por h(x)=arctg(x)

Determina a primitiva de h em que se anula em x=1


Obrigada

[Sobolev]

É um exemplo "clássico" de utilização da primitivação por partes:

\(\int \arctan \,x \,dx = \int 1 \cdot \arctan\, x\,dx = x \arctan x - \int x \cdot \frac{1}{1+x^2}\, dx = x \arctan\, x - \frac 12 \ln (1+x^2) + C\)

Sabendo que a primitiva se deve anular quando x=1, teremos \(1\cdot\frac{\pi}{4} - \frac 12 \ln 2 + C = 0\) logo \(C = -\frac{\pi}{4}-2 \ln 2\).