Integração

[calbferreira@2]

\(\int X^2(5+2X^3)^5 dx=\)

[Fraol]

Boa noite,

Para desenvolver, minha sugestão é que faça \(u = 2x^3+5\), dessa forma \(du = 6x^2 dx\) e agora é fazer a subsituição na integral original e concluir.

[calbferreira@2]

Boa noite,
Mas neste caso qual é o método que deve ser usado?
Substituição ou integração por partes?
Essa é minha dúvida fundamental.
Grato

[Fraol]

Oi,

No caminho que propus, o método é o de substituição.

[Sobolev]

Neste caso a primitiva é até imediata, na medida em que a potência está já multiplicada por uma expressão facilmente transformável na derivada da base.

\(\int x^2 (5+2x^3)^5\,dx = \frac 16 \int 6 x^2(5+2x^3)^5\,dx = \frac 16 \frac{(5+2x^3)^6}{6} + C=\fraqc{1}{36}(5+2x^3)^6 + C\)

P.S. Lembre-se que \(\int u' u^{\alpha} \, dx = \frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C,\quad \alpha \ne -1\)