Calcular área de região limitada por curvas em coordenadas polares
22 mar 2014, 19:01
Pessoal, estou com dificuldades na seguinte questão:
Calcular a área da região situada simultaneamente no interior das seguintes curvas:
r = 1 + Cos θ
r = 1
A resposta correta é: \(\frac {5pi}{4} - 2\)
Obrigada!
Calcular a área da região situada simultaneamente no interior das seguintes curvas:
r = 1 + Cos θ
r = 1
A resposta correta é: \(\frac {5pi}{4} - 2\)
Obrigada!
Re: Calcular área de região limitada por curvas em coordenadas polares
23 mar 2014, 02:26
Olá :
Primeiro veja o gráfico:
1º Modo ( integrais simples):
Sabendo que a área de figuras em coordenadas polares é dado por : \(\frac{1}{2}*\int_{\alpha}^{\beta} \; f^{2}(\theta) \; d\theta\) , e observando que a figura possui simetria, vamos calcular somente uma parte e multiplicar por 2 .
\(2*\left(\frac{1}{2}*\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \; \; 1 \; d\theta \; + \; \frac{1}{2}*\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \; (1+cos\theta)^2 \; d\theta \right)\)
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \; \; 1 \; d\theta \; + \; \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \; (1+cos\theta)^2 \; d\theta\)
2º Modo (integrais duplas) :
Novamente usando a simetria:
\(2*\left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \; \int_{0}^{1} \; r \; drd\theta+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \; \int_{0}^{1+cos\theta} \; r drd\theta \right)\)
Se houver dúvidas só falar.
Primeiro veja o gráfico:
- gráfico polar.png (37.25 KiB) Visualizado 2014 vezes
1º Modo ( integrais simples):
Sabendo que a área de figuras em coordenadas polares é dado por : \(\frac{1}{2}*\int_{\alpha}^{\beta} \; f^{2}(\theta) \; d\theta\) , e observando que a figura possui simetria, vamos calcular somente uma parte e multiplicar por 2 .
\(2*\left(\frac{1}{2}*\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \; \; 1 \; d\theta \; + \; \frac{1}{2}*\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \; (1+cos\theta)^2 \; d\theta \right)\)
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \; \; 1 \; d\theta \; + \; \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \; (1+cos\theta)^2 \; d\theta\)
2º Modo (integrais duplas) :
Novamente usando a simetria:
\(2*\left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \; \int_{0}^{1} \; r \; drd\theta+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \; \int_{0}^{1+cos\theta} \; r drd\theta \right)\)
Se houver dúvidas só falar.
Re: Calcular área de região limitada por curvas em coordenadas polares
23 mar 2014, 23:07
Muito obrigada!
Entendi sim.
O gráfico ajuda bastante..
Qual programa vc usa para plotar esse tipo de gráfico?
Obrigada..
Entendi sim.
O gráfico ajuda bastante..
Qual programa vc usa para plotar esse tipo de gráfico?
Obrigada..
Re: Calcular área de região limitada por curvas em coordenadas polares
24 mar 2014, 01:06