Relação entre Integração e Derivação, um caso especial

[icaro.calixto]

Oi pessoal, eu vim a recorrer ao fórum pois seria complicado procurar isso no google.
Me deparei com um exercício de circuitos simples aqui onde em uma parte da conta(logo no início) eu fiz uma coisa bem mecanizada e "decorada" mas que não sei o porquê de se fazer. Vou explicar o exercicio pra que entendam:
Da-se a função da tensao v e da corrente i

\(v=e^{-500t}-e^{-1500t}V\)

\(i=30-40e^{-500t}+10e^{-1500t} mA\)

Pede-se a energia(w) gasta no intervalo de 0-10ms.
Não entrando nos cálculos, pra se chegar ao pedido(W) escrevi assim:

\(P=\frac{dw}{dt}\), onde P=potência

Nesse momento é onde ocorre a mecânica. Eu multiplico cruzado e após isso integro de ambos os lados assim:

\(P.dt=dw\rightarrow \int P.dt=\int dw\rightarrow w=\int P.dt\)

Qual é essa explicação pra essa multiplicação cruzada? integrar de ambos os lados eu até consigo aceitar, mas essa multiplicação cruzada não entra na minha cabeça. O dt está intimamente relacionado ao dw. Na verdade faz parte da notação não é? Alguém pode me ajudar nesse entendimento?

[Walter R]

Olá, Ícaro.
Dê uma olhada no "Teorema Fundamental do Cálculo", onde encontrarás a justificativa matemática para "multiplicar cruzado". Em síntese, se \(P(t)=w'=\frac{dw}{dt}\) é uma função integrável, então por força do citado Teorema, segue-se que:

\(W(t_2)-W(t_1)=\int_{t_1}^{t_2} w^{'}(t)dt\)=\(\int_{t_1}^{t_2}P(t) d(t)\), ou seja, \(\Delta W= \int_{t_1}^{t_2} P(t) d(t)\)