∫x cos (log (x^2)) dx , (x>0)

[aacc]

Alguém sabe como calcular a seguinte integral:


∫x cos (log (x^2)) dx , (x>0)

[João P. Ferreira]

Este não é dificil...

Este é daqueles que se faz por partes duas vezes e depois dá a volta...

Lembre-se ainda que \(log(x^2)=2log(x)\)

Faça por partes. Lembre-se da primitivação por partes:

\(Pu'v=uv-Pv'u\)

Faça \(v=cos(2.log(x)) \ \ u'=x\)

Terá que fazer por partes duas vezes, e depois dá a volta

Se não conseguir esteja à vontade para comentar/perguntar

Saudações pitagóricas

[João P. Ferreira]

Veja aqui o resultado

http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivate+x%5E2%2F4%28cos%28ln%28x%5E2%29%29%2Bsin%28ln%28x%5E2%29%29%29

Qualquer dúvida apite

[João P. Ferreira]

Ou seja meu caro

\(Px.cos(ln(x^2))=Px.cos(2.ln(x))\)

Fazemos por partes

\(v=cos(2.ln(x)) \ \ v'=-\frac{2}{x}sen(2.ln(x))\)

\(u'=x \ \ u=\frac{x^2}{2}\)

Continuando

\(Px.cos(2.ln(x))=\frac{x^2}{2}cos(2.ln(x))-P(-\frac{2}{x})sen(2.ln(x))\frac{x^2}{2}=\)

\(=\frac{x^2}{2}cos(2.ln(x))+Px.sen(2.ln(x))\)

Fazendo novamente por partes

\(v=sen(2.ln(x)) \ \ v'=\frac{2}{x}cos(2.ln(x))\)

\(u'=x \ \ u=\frac{x^2}{2}\)

concluímos que

\(Px.cos(2.ln(x))=\frac{x^2}{2}cos(2.ln(x))+\frac{x^2}{2}sen(2.ln(x))-Px.cos(2.ln(x))\)

Dá a volta da ponta direita para a esquerda da equação e o resultado final é então:

\(Px.cos(2.ln(x)) = \frac{x^2}{4}(cos(2.ln(x)+sen(2.ln(x)))\)

Volte sempre

[aacc]

Depois de ver a resolução parece que não é tão difícil como aparentava.

Obrigado!

[João P. Ferreira]

De nada

volte sempre