Não sei como encontrar a primitiva dessa integral

[hpimenta]

\(\int \frac{(cosx)^{3}}{\sqrt{senx}}dx\)

Por substituição seria possível?

[Davi Constant]

Bom, vamos lá...
sim, por substituição é possível!

Seja \(\Large u=\sqrt{\sin(x)}\rightarrow du=\frac{1}{2}\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}dx\)

Então vem que: \(\Large I=\int\frac{\cos^3(x)}{\sqrt{\sin(x)}}dx=\int\cos^2(x)\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}dx=\int\( sin^2(x)+1 )\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}dx\)

Como: \(\Large \sin^2(x)+1=u^4+1;\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}dx=2du\)

Podemos reescrever a integral como: \(\Large I=2\int(u^4+1)du=\frac{2}{5}u^5+2u+C=\frac{2}{5}\sqrt{\sin^5(x)}+2\sqrt\sin(x)+C\)

Espero ter ajudado,
qualquer dúvida sinalize.