Integral racional por frações parciais

[Fernandobertolaccini]

Calcule:

\(\int\frac{5x^2+3x-1}{x^3-2x^2+x-2}\)


resp: 5ln(x-2)+3arctg + C

Muito obrigado !!!

[Fraol]

Boa noite,

Vou pular um ou outro passo, como de costume:

A integral \(\int \frac{(5 x^2+3 x-1)}{(x^3-2 x^2+x-2)} dx\)

usando frações parciais fica assim \(\int \left( \frac{3}{(x^2+1)}+ \frac{5}{(x-2)} \right ) dx\)

\(= 3 \int \frac{1}{(x^2+1)} dx + 5 \int \frac{1}{(x-2)} dx\)

\(= 3 \cdot \text{arctg}({x}) + C_1 + 5 \int \frac{1}{u} du, u = (x-2)\)

\(= 3 \cdot \text{arctg}({x}) + C_1 + 5 \cdot \text{ln}{(u)} + C_2, u = (x-2)\)

\(= 3 \cdot \text{arctg}({x}) + 5 \cdot \text{ln}{(x-2)} + C\)