Integral identidade trigonométrica com expoente

[gustavo.matarazzo.12914]

Oi pessoal,

essa integral:
\(\int cos^4xdx\)

alguém poderia desenvolvê-la porque a resposta no gabarito do livro é essa e não entendi o procedimento:
\(\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}sen2x+\frac{1}{32}sen4x+C\)

[josesousa]

Vamos a ver.

Em primeiro lugar, \(cos^4(x)=(cos^2(x))^2\)

e sabemos que

\(cos^2(x)=\frac{1}{2}\left( 1+cos(2x)\right)\)

Logo, \(cos^4(x)=(cos^2(x))^2=\frac{1}{4}\left( 1+2cos(2x)+cos(2x)^2\right)\)

e, simplificando ainda mais

\(\frac{1}{4}\left( 1+2cos(2x)+cos(2x)^2\right)=\frac{1}{4}\left( 1+2cos(2x)+\frac{1}{2}(1+cos(4x))\right)\)

Assim,
\(\int cos^4(x) dx = \int \frac{1}{4}\left( 1+2cos(2x)+\frac{1}{2}(1+cos(4x))\right) dx=\)
\(\frac{1}{4}(x+sen(2x)+\frac{x}{2}+\frac{1}{8}sen(4x))+C=\)
\(\frac{1}{4}(sen(2x)+\frac{3x}{2}+\frac{1}{8}sen(4x))+C=\)
\(\frac{3x}{8}+\frac{1}{4}sen(2x)+\frac{1}{32}sen(4x)+C\)